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Beweisfrage: kompl. Fol. konvr gdw Re u Im konvr.

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Komplexe Zahlen

Tags: Grenzwert, Komplexe Zahlen

nobodon aktiv_icon

21:07 Uhr, 04.11.2011

Hey Leute,
es geht um folgenden Beweis:
Beweise, dass eine Folge

z_{n}

aus C mit

n \in ℕ

konvergiert, genau dann wenn Re(

z_{n}

) und Im(

z_{n}

) konvergieren.

Nun ja es geht hier wohl um "=>"- und "<="-Richtungen.

"=>"
gegeben:

z_{n}

konvergiert
zu zeigen: Re(

z_{n}

) und Im(

z_{n}

) konvergieren

Beweis:
Es gibt also einen Grenzwert.

z_{n}

konvergiert gegen

z_{o}

z_{n}

lässt sich als

R e

(

z_{n}

)

+

I m

(

z_{n}

)

= z_{n}

darstellen.
Also

R e

(

z_{n}

)

+

I m

(

z_{n}

) konvergiert gegen

z_{o}

.
Und mit der Grenzwertrechenregel:

a_{n} + b_{n} \to a + b

.
Dann würde ich a + b als neue Zahl

z_{o}

auffassen:

a_{n} + b_{n} \to a + b = z_{o}

.
Dann

R e (z_{n}) + I m (z_{n}) \to z_{o}

. Daraus würde folgen, dass der Realteil und Imaginärteil von z konvergiert.

// Meine Frage ist eben, ob das alles so richtig ist, oder hab ich nicht mehr oder weniger den Rückwärtsbeweis falsch rum aufgeschrieben (also einfach alles rückwärts lesen xD). Ich habe bedenken, dass ich die Cauchy Folgen Definition einbeziehen muss.

Ich bin für Hilfe äußerst dankbar
mit freundlichen Gruß
nobodon

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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michaL aktiv_icon

22:16 Uhr, 04.11.2011

Hallo,

nun, sei die Folge

(z_{n})_{n \in ℕ}

und

z

der Grenzwert. Es gilt doch:

∣ z_{n} - z ∣ = ∣ ℜ (z_{n}) - ℜ (z) + i (ℑ (z_{n}) - ℑ (z)) ∣ \leq ∣ ℜ (z_{n}) - ℜ (z) ∣ + ∣ ℑ (z_{n}) - ℑ (z) ∣

Konvergieren also Real- UND Imaginärteil, so auch die komplexe Folge.

Andererseits gelten:

∣ ℜ (z_{n}) - ℜ (z) ∣, ∣ ℑ (z_{n}) - ℑ (z) ∣ \leq ∣ ℜ (z_{n}) - ℜ (z) + i (ℑ (z_{n}) - ℑ (z)) ∣ = ∣ z_{n} - z ∣

Konvergiert also die Originalfolge, dann auch Real- UND Imaginärteil.

Mfg Michael

nobodon aktiv_icon

22:33 Uhr, 04.11.2011

Darf ich fragen worauf du dich beziehst? Ich will das wirklich verstehen..

"Es gilt doch:

∣ z_{n} - z ∣ = (. . .)

Deine Umformungen hab ich vertanden, doch woher hast du diese Betragsfunktion

∣ z_{n} - z ∣

, etwa aus der Definition:

ε

-Definition?, also ab einem bestimmten Index N gilt für alle anderen
n > N, dass

ε

∣ z_{n} - z ∣

mit

ε > 0

Ebenfalls hab ich die Schlussfolgerung, dass dann Realteil und Imaginärteil konvergieren nicht verstanden, könntest du mir paar Tipps oder Erläuterungen geben?

Vielen Dank im Vorraus :-D)

michaL aktiv_icon

23:12 Uhr, 04.11.2011

Hallo,

ich bin unsicher, ob ich deine Frage(n) richtig verstehe.
Eine komplexe Zahlenfolge

(z_{n})_{n \in ℕ}

heißt doch konvergent gegen den Grenzwert

z

, wenn für alle

ε > 0

ein

n_{0} \in ℕ

existiert, sodass für alle

n \geq n_{0}

die Ungleichung

∣ z_{n} - z ∣ < ε

gilt. Genau diesen Betrag untersuche ich.
Eigenschaften des Betrags:

∣ a + i b ∣ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣

(nachrechnen!)

∣ a ∣, ∣ b ∣ \leq ∣ a + i b ∣

(nachrechnen!)

Diese beiden Eigenschaften des komplexen Betrags habe ich verwendet.

Zur zweiten Frage: Du musst doch zum Nachweis der Konvergenz (egal welcher in deiner Aufgabe) zu gegebenem

ε > 0

ein passendes

n_{0} \in ℕ

geben (mit weiteren Eigenschaften).

Und nun der Gedanke:
Wenn sowohl Realteil UND Imaginärteil konvergieren UND doch

∣ z_{n} - z ∣ \leq ∣ ℜ (z_{n}) - ℜ (z) ∣ + ∣ ℑ (z_{n}) - ℑ (z) ∣

gilt, kannst du doch zu gegebenem

ε

je ein

n_{1}

bzw. ein

n_{2}

angeben, sodass

∣ ℜ (z_{n}) - ℜ (z) ∣ < \frac{ε}{2}

für alle

n \geq n_{1}

und

∣ ℑ (z_{n}) - ℑ (z) ∣ < \frac{ε}{2}

für alle

n \geq n_{2}

. Ist nun

n_{0}

das größerer der beiden Indices (

n_{0} = max (n_{1}, n_{2})

), so gilt für alle

n \geq n_{0}

∣ z_{n} - z ∣ \leq ∣ ℜ (z_{n}) - ℜ (z) ∣ + ∣ ℑ (z_{n}) - ℑ (z) ∣ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε

. Das ist doch genau das, was man zeigen soll, oder?

Damit habe ich die eine Implikationsrichtung in bester Formalisierung aufgeschrieben, die andere musst du allein schaffen.

Mfg Michael

michaL aktiv_icon

23:13 Uhr, 04.11.2011

Hallo,

ich bin unsicher, ob ich deine Frage(n) richtig verstehe.
Eine komplexe Zahlenfolge

(z_{n})_{n \in ℕ}

heißt doch konvergent gegen den Grenzwert

z

, wenn für alle

ε > 0

ein

n_{0} \in ℕ

existiert, sodass für alle

n \geq n_{0}

die Ungleichung

∣ z_{n} - z ∣ < ε

gilt. Genau diesen Betrag untersuche ich.
Eigenschaften des Betrags:

∣ a + i b ∣ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣

(nachrechnen!)

∣ a ∣, ∣ b ∣ \leq ∣ a + i b ∣

(nachrechnen!)

Diese beiden Eigenschaften des komplexen Betrags habe ich verwendet.

Zur zweiten Frage: Du musst doch zum Nachweis der Konvergenz (egal welcher in deiner Aufgabe) zu gegebenem

ε > 0

ein passendes

n_{0} \in ℕ

geben (mit weiteren Eigenschaften).

Und nun der Gedanke:
Wenn sowohl Realteil UND Imaginärteil konvergieren UND doch

∣ z_{n} - z ∣ \leq ∣ ℜ (z_{n}) - ℜ (z) ∣ + ∣ ℑ (z_{n}) - ℑ (z) ∣

gilt, kannst du doch zu gegebenem

ε

je ein

n_{1}

bzw. ein

n_{2}

angeben, sodass

∣ ℜ (z_{n}) - ℜ (z) ∣ < \frac{ε}{2}

für alle

n \geq n_{1}

und

∣ ℑ (z_{n}) - ℑ (z) ∣ < \frac{ε}{2}

für alle

n \geq n_{2}

. Ist nun

n_{0}

das größerer der beiden Indices (

n_{0} = max (n_{1}, n_{2})

), so gilt für alle

n \geq n_{0}

∣ z_{n} - z ∣ \leq ∣ ℜ (z_{n}) - ℜ (z) ∣ + ∣ ℑ (z_{n}) - ℑ (z) ∣ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε

. Das ist doch genau das, was man zeigen soll, oder?

Damit habe ich die eine Implikationsrichtung in bester Formalisierung aufgeschrieben, die andere musst du allein schaffen.

Mfg Michael

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