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Bijektivität, Surjektivität, Injektivität
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Tags: Betrag, Beweis, bijektiv, Funktion, injektiv, surjektiv
 
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Hi Ich habe mal ne kurze Frage. Ich soll beweisen, dass die Funktion R(Symbol für reelle Zahlen)->(-1,1) mit bijektiv ist und eine Umkehrfunktion besitzt. Das ist sie ja, wenn sie surjektiv und injektiv ist. Und da habe ich Schwierigkeiten mit. Wenn eine Funktion injektiv heißt das, wenn dann ist . Das habe ich versucht zu Beweisen, nur weiß ich nicht, ob das ausreicht. Für die Injektivität habe ich folgendes gemacht: Jetzt muss ich ja irgendwie die Beträge wegkriegen. Also habe ich gesagt, wenn und sind, folgt nach einsetzen (dasselbe folgt für . Und jetzt frage ich mich, ob ich jetzt fertig bin. Denn eigentlich müsste ich ja noch den Fall und (oder umgekehrt) betrachten. Dann folgt . Das finde ich irgendwie unnötig. Muss ich diesen Fall noch beachten? Dann wollte ich fragen, wie ich Surjektivität beweisen kann? Die Definition verstehe ich, aber wie ich das beweisen soll weiß nicht. Und generell gefragt, wenn ich die Umkehrfunktion bilde, zeige ich damit indirekt, dass die Funktion bijektiv ist? Denn für die Umkehrfunktion muss die ursprüngliche Funktion bijektiv sein. Danke schon mal im vorraus :-) Altermann Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, wenn du die Injektivitätalleine beweisen willst, müsstest du diese Fallunterscheidungen durchziehen. Da du aber ohnehin die Umkehrabbildung bestimmen sollst, würde ich diese bestimmen. Dann ist doch die Injektivität auch bewiesen. gruß korbinian |
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Hallo :-) "Denn eigentlich müsste ich ja noch den Fall a<0 und b>0 (oder umgekehrt) betrachten. Dann folgt a≠b. Das finde ich irgendwie unnötig. Muss ich diesen Fall noch beachten?" Eigentlich nicht, denn Du gehst doch von a/(1+|a|) = b/(1+|b|) aus und das ist ja bei a ≠ b nicht der Fall. "Dann wollte ich fragen, wie ich Surjektivität beweisen kann? Die Definition verstehe ich, aber wie ich das beweisen soll weiß nicht." Nimm ein beliebiges y aus dem Wertebereich und zeige, dass es dafür ein x mit y = f(x) gibt. Ich soll beweisen, dass die Funktion [...] eine Umkehrfunktion besitzt. Wenn Du eine Umkehrfunktion angeben bzw. berechnen kannst, hast Du auch gleichzeitig die Bijektivität nachgewiesen. Viele Grüße nuubi |
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Erstmal Vielen Dank fürs antworten :-) Ah verstehe. Ja die Aufgabenstellung war: "Zeigen Sie, dass bijektiv ist. Konstruieren Sie die Umkehrabbildung." Da reicht es dann nicht, einfach die Umkehrfunktion zu bilden richtig ? Und noch mal zur Surjektivität. Mein Wertebereich ist ja . Könnte ich jetzt einfach irgend ein nehmen (also einfachstes Beispiel für und zeige dann, dass gibt? Oder müsste ich es allgemein für zeigen? Beste Grüße Altermann |
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"Da reicht es dann nicht, einfach die Umkehrfunktion zu bilden richtig ?" Doch, das genügt. Folgenden Satz habe ich Dir aus einem Skript kopiert: Satz: Sei f: M -> N eine Abbildung. f ist genau dann invertierbar, wenn f bijektiv ist. Das bedeutet doch, dass die Aussagen 1) f ist bijektiv und 2) f ist invertierbar äquivalent sind. "Oder müsste ich es allgemein für y zeigen?" Ja, allgemein. Ich denke mal, dass man hier Fallunterscheidungen machen muss für x >= 0 und x < 0. |
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Ja verstehe, nur weil da so explizit stand: "Zeigen Sie, dass die Funtion bijektiv ist" dachte ich, dass ich das sepperat noch beweisen müsste Vielen Dank für die Hilfe :-) |
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