Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Bilder und Urbilder - Beweis - Operationstreue

Bilder und Urbilder - Beweis - Operationstreue

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Differentiation

Tags: Beweis, Mengenlehre, Operationstreue

Nanani aktiv_icon

21:37 Uhr, 06.11.2011

Hallo ihr Lieben,..
Ich hab folgende Aufgabe, wo ich euch um Rat bitten würde:

Seien

f : M \to N

eine Abbildung und I,J zwei nichtleere Indexmengen. Zu jedem

i \in I, j \in J

bezeichne

M_{i}

eine Teilmenge von

M

und

N_{j}

eine Teilmenge von N. Dann gilt:

a) f^{- 1} (⋂

_{j \in J} N_{j}) = ⋂ ._{j \in J} f^{- 1} N_{j}

b) f^{- 1} (⋃

_{j \in J} N_{j}) = ⋃ ._{j \in J} f^{- 1} N_{j}

Beweisen Sie die obrigen 6 Aussagen.

So das sind die ersten beiden von insgesamt 6 Teilaufgaben. Ich denke, wenn ich bei diesen verstanden habe, wie es funtioniert, dann werd ich das hoffentlich auf die anderen anwenden können.

Bei der a hab ich jetzt wie folgt angefangen:

f^{- 1} (⋂

_{j \in J} N_{j}) \subset ⋂ ._{j \in J} f^{- 1} N_{j}

Sei

y \in f^{- 1} (⋂

_{j \in J} N_{j}),

dann existiert

] x \in ⋂

_{j \in J} N_{j}

mit

y = f^{- 1} (x)

x \in ⋂

_{j \in J} N_{j} \Rightarrow x \in N_{j} \forall j \in J \Rightarrow x \in f^{- 1} (N_{j}) \Rightarrow x \in ⋂ ._{j \in J} f^{- 1} N_{j}

\Rightarrow f^{- 1} (⋂

_{j \in J} N_{j}) \subset ⋂ ._{j \in J} f^{- 1} N_{j}

Ist das soweit schonmal richtig?
Jetzt brauch ich ja nur noch die gegenrichung,.. da hab ich jetzt so begonnen:

⋂ ._{j \in J} f^{- 1} N_{j} \subset f^{- 1} (⋂

_{j \in J} N_{j})

\exists y \in ⋂ ._{j \in J} f^{- 1} N_{j} \Rightarrow : y \in f^{- 1} N_{j} : x \in N_{j}

Weiß bis hier hin schonmal nicht obdas stimmt und auch leider nicht wie ich weiter machen könnte

: \frac{-}{}

Könnts ihr mir vielleicht weier helfen?

Vielen Dank schonmal und die liebsten Grüße :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Sina86

22:37 Uhr, 06.11.2011

Also die Hinrichtung sieht schon mal ganz gut auf, aber einige Sachen stimmen nicht. Z.B. kannst du nicht schreiben

y = f^{- 1} (x)

, denn es ist nicht bekannt, dass

f

eine Umkehrfunktion ist. Somit ist

f^{- 1} (A)

für eine Menge

A

als Menge zu verstehen. Dann ist

f^{- 1} (x) := f^{- 1} ({x})

und diese Menge kann mehr als ein Element enthalten. Jedoch enthält es auf jeden Fall

y

.

Ab dem zweiten Folgepfeil musst du auch

x

mit

y

vertauschen.

Beim zweiten Teil verstehe ich nicht genau, was du schreiben möchtest. Allerdings muss der Beweis zwingend mit einem

\forall

Operator beginnen, weil jedes Element der einen Menge in der anderen enthalten sein muss...

Nanani aktiv_icon

22:48 Uhr, 06.11.2011

Vielen Lieben Dank für deine Antwort
Wie kann ich das denn dann für

y = f^{- 1}

schreiben?

Wäre es dann so richtiger:

f^{- 1} (⋂

_{j \in J} N_{j}) \subset ⋂ ._{j \in J} f^{- 1} N_{j}

Sei

y \in f^{- 1} (⋂

_{j \in J} N_{j}),

dann existiert

x \in ⋂

_{j \in J} N_{j}

mit

y = f^{- 1} (x)

x \in ⋂

_{j \in J} N_{j} \Rightarrow x \in N_{j} \forall j \in J \Rightarrow y \in f^{- 1} (N_{j}) \Rightarrow y \in ⋂ ._{j \in J} f^{- 1} N_{j}

\Rightarrow f^{- 1} (⋂

_{j \in J} N_{j}) \subset ⋂ ._{j \in J} f^{- 1} N_{j}

Ja bei dem Unteren weiß ich auch nciht was ich da sagen will. Mein Problem ist das ich nciht weiß wie ich die Rückrichtung beweisen kann... Kannst du mri da vielleicht weiterhelfen?
Die allerliebsten Grüße

Sina86

23:02 Uhr, 06.11.2011

Du schreibst dann

y \in f^{- 1} ({x})

. Jetzt ist es richtig, ich würde nur noch schreiben

\forall j \in J : y \in f^{- 1} (N_{j})

Nanani aktiv_icon

23:15 Uhr, 06.11.2011

Ich danke dir ganz super doll!

Kannst mir vielleicht auch sagen wie ich es für

⋂ ._{j \in J} f^{- 1} N_{j} \subset f^{- 1} (⋂

_{j \in J} N_{j})

beweisen kann, damit der Beweis komplett ist?
Weil für die Gegenrichtung fehlt mir jegliche Spur,..

Vielen Vielen lieben Dank nochmal!

Achso und kann ich das für den Schnitt analog machen, also:

f^{- 1} (⋃

_{j \in J} N_{j}) = ⋃ ._{j \in J} f^{- 1} N_{j}

Sei

y \in f^{- 1} (⋃

_{j \in J} N_{j}),

dann existiert

x \in ⋃

_{j \in J} N_{j}

mit

y \in f^{- 1} ({x})

x \in ⋃

_{j \in J} N_{j} \Rightarrow x \in N_{j} \exists j \in J \Rightarrow y \in f^{- 1} (N_{j})

\Rightarrow f^{- 1} (⋃

_{j \in J} N_{j}) = ⋃ ._{j \in J} f^{- 1} N_{j}

Nanani aktiv_icon

00:04 Uhr, 07.11.2011

Kannst mir vielleicht auch sagen wie ich es für

⋂ ._{j \in J} f^{- 1} N_{j} \subset f^{- 1} (⋂

_{j \in J} N_{j})

beweisen kann, damit der Beweis komplett ist?
Weil für die Gegenrichtung fehlt mir jegliche Spur,..

Vielen Vielen lieben Dank nochmal!

Achso und kann ich das für den Schnitt analog machen, also:

f^{- 1} (⋃

_{j \in J} N_{j}) = ⋃ ._{j \in J} f^{- 1} N_{j}

Sei

y \in f^{- 1} (⋃

_{j \in J} N_{j}),

dann existiert

x \in ⋃

_{j \in J} N_{j}

mit

y \in f^{- 1} ({x})

x \in ⋃

_{j \in J} N_{j} \Rightarrow x \in N_{j} \exists j \in J \Rightarrow y \in f^{- 1} (N_{j})

\Rightarrow f^{- 1} (⋃

_{j \in J} N_{j}) = ⋃ ._{j \in J} f^{- 1} N_{j}

Sina86

23:57 Uhr, 08.11.2011

Im Prinzip geht es genauso:
Sei

x \in \cap_{j \in J} f^{- 1} (N_{j}) \Rightarrow \forall j \in J : x \in f^{- 1} (N_{j}) \Rightarrow \forall j \in J \exists y_{j} \in N_{j} : f (x) = y_{j}

Nun sind Bilder immer eindeutig (nach der Definition von Funktionen). D.h. aus

f (x) = a \land f (x) = b

folgt, dass

a = b

ist. Demnach ist

y_{j} = y_{k}, \forall j, k \in J

. Wir definieren dann

y = y_{j}

. Dann gilt

\forall j \in J \exists y \in N_{j} : f (x) = y \Rightarrow (\forall j \in J : y \in N_{j}) \land f (x) = y \Rightarrow (y \in \cap_{j \in J} N_{j}) \land f (x) = y \Rightarrow x \in f^{- 1} (\cap_{j \in J} N_{j})

Dabei muss (fast immer) nur die Definition der Mengen eingesetzt werden.

Und ja, die anderen Beweise mit den Vereinigungen gehen fast analog, allerdings muss man einige Quantoren verändern (aus

\forall

wird

\exists

und umgekehrt).

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

936914

935987

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?