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Binomialkoeffizient Beweis

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Tags: Beweis, Binomialkoeffizient, Sonstig

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10:49 Uhr, 30.01.2016

Guten Morgen! :-)
Ich bräuchte da mal kurz Hilfe von euch bei einer Beweisaufgabe. Es geht um den Binomialkoeffizienten.

Die Aufgabenstellung lautet:
Für

α \in ℝ

heißt

(\begin{matrix} α \\ n \end{matrix}) := \frac{α \cdot (α - 1) \cdot ... \cdot (α - n + 1)}{n!}

Binomialkoeffizient.
Zeige die folgenden Identitäten für

m, n \in ℕ \cup {0}

mit

m \geq n

und

α \in ℝ :

(\begin{matrix} α \\ n \end{matrix}) + (\begin{matrix} α \\ n + 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} α + 1 \\ n + 1 \end{matrix})

Mein Versuch sieht so aus:

(\begin{matrix} α \\ n \end{matrix}) + (\begin{matrix} α \\ n + 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} α \\ n \end{matrix}) + \frac{α \cdot (α - 1) \cdot ... \cdot (α - n + 1) \cdot (α - n)}{(n + 1)!} = (\begin{matrix} α \\ n \end{matrix}) + (\begin{matrix} α \\ n \end{matrix}) \cdot \frac{α - n}{n + 1}

= (\begin{matrix} α \\ n \end{matrix}) \cdot (1 + \frac{α - n}{n + 1}) = (\begin{matrix} α \\ n \end{matrix}) \cdot (\frac{n + 1}{n + 1} + \frac{α - n}{n + 1}) = (\begin{matrix} α \\ n \end{matrix}) \cdot (\frac{α + 1}{n + 1})

= \frac{(α + 1) \cdot α \cdot (α - 1) \cdot ... \cdot (α - n + 1)}{(n + 1)!} = ...

(\begin{matrix} α + 1 \\ n + 1 \end{matrix}) = \frac{(α + 1) \cdot α \cdot (α - 1) \cdot ... \cdot (α - n + 1) \cdot (α - n)}{(n + 1)!}

also fehlt mir dort oben noch ein

(α - n)

im Zähler. Aber wie bekomme ich das da rein? Übersehe ich etwas?

Lg
Max

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

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