Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Binomialkoeffizient / Beweis

Binomialkoeffizient / Beweis

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Beweis, Binomialkoeffizient, Fakultät

Wunderblume aktiv_icon

19:06 Uhr, 08.03.2012

Hallo!

Also die Aufgabe wäre:

Es seien

n, k \in ℕ, ℕ = {0,1,2,3, . .

}

. Zeigen Sie

1. ((n)über(k))

= (n!)

geteilt durch

(k! \cdot (n - k)!)

2. ((n)über(k))

+

((n)über(k+1)) = ((n+1)über(k+1)) .

Also ich dachte mir, dass man es vielleicht mit Induktion beweisen müsste. Nur hab ich keinen Plan, wie ich das machen soll.

Danke für die Hilfe!!

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Shipwater aktiv_icon

21:59 Uhr, 08.03.2012

Wie habt ihr

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

denn definiert? 2 lässt sich ja durch 1 zeigen. Und für 1 müsste man eure Definition von

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

kennen.

Wunderblume aktiv_icon

17:31 Uhr, 09.03.2012

Definition:

Es seien

n, k

ganze Zahlen,

n \geq 0

. Ist

k < n

oder

k < 0,

so sei

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = 0

. Ist

0 \leq k \leq n,

so sei

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = n!

durch

k! \cdot (n - k)!

. Das heißt Binomialkoeffizient mit den Eintragungen

n

und

k

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) = 1, (\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) = 1, (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = (\begin{matrix} n \\ n - k \end{matrix})

Satz (Eigenschaften von Binomialkoeffizienten)

Es seien

n, k \in ℕ; ℕ = {0,1,2, ...}

a)

Für

0 \leq k \leq n

gilt:

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = n!

durch

k! \cdot (n - k)!

b) (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ k + 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} n + 1 \\ k + 1 \end{matrix})

So haben wir es definiert, aber beweisen müssen wir es selber. und ich hab keine Ahnung wie.

Underfaker aktiv_icon

17:49 Uhr, 09.03.2012

Bist du sicher, dass es "k

<

n" heißen soll, sicher

k > n

?

Naja Die Definition zu beweisen, ist normalerweise nicht üblich, da weiß ich grade nicht genau.

Immerhin definiert man sich einfach diese Notation, ich denke nicht dass man genau diesen Punkt 1 beweisen sollte.

2.

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ k + 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} n + 1 \\ k + 1 \end{matrix})

Das kannst du mit der Definition aus 1. zeigen, setze links die Definition ein und forme um, Brüche gleichnamig machen und zusammen fassen, am Ende sollte man zum rechten Ausdruck kommen.

ps: schreibe statt "über" ein Komma, dann wird der binomialkoeffizient im Textmodus korrekt angezeigt, also "((n),(k))"

Shipwater aktiv_icon

18:16 Uhr, 09.03.2012

de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient#Rekursive_Darstellung_und_Pascalsches_Dreieck
Da siehst du wie man solche Beweise generell angehen kann. Letztlich also einfach nur die Definition bemühen und rechnen.

KalleMarx aktiv_icon

20:01 Uhr, 09.03.2012

Moin zusammen!
Wiki ist ja in vielen Fällen echt prima aber in diesem Falle finde ich die Beweisandeutungen dort doch etwas dürftig. Daher ich schreibe ich hier mal den Beweis zu 2:

Zu zeigen ist

(\binom{n + 1}{k + 1}) = (\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1})

.
Wir nehmen die rechte Seite und setzen

k = k - 1

(\binom{n}{k - 1}) + (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{(k - 1)! (n - k + 1)!} + \frac{n!}{k! (n - k)!}

Wir erweitern den linken Bruch mit

k

und den rechten mit

(n - k + 1)

= \frac{n! k}{k! (n - k + 1)!} + \frac{n! (n - k + 1)}{k! (n - k + 1)!} = \frac{n! k + n! (n - k + 1)}{k! (n - k + 1)!} = \frac{n! (k + n - k + 1)}{k! (n - k + 1)!} = \frac{n! (n + 1)}{k! (n - k + 1)!} = \frac{(n + 1)!}{k! (n + 1 - k)!}

Setzen wir im letzten Term wieder

k + 1

für

k

ein, ergibt sich:

\frac{(n + 1)!}{(k + 1)! (n + 1 - (k + 1))!} = (\binom{n + 1}{k + 1})

q.e.d.

Shipwater aktiv_icon

20:25 Uhr, 09.03.2012

Da ist leider an einigen Stellen was schief gegangen KalleMarx. Man muss den zweiten Summanden korrekterweise mit

n - k + 1

erweitern:

\frac{n! k}{k! (n - k + 1)!} + \frac{n! (n - k + 1)}{k! (n - k + 1)!} = \frac{(n + 1)!}{k! (n + 1 - k)!}

Dass dein Ergebnis letztlich stimmt, liegt daran, dass du einen weiteren Fehler gemacht hast. Und zwar hast du

n! n = (n + 1)!

geschrieben, aber das ist nicht richtig.

n! \cdot (n + 1) = (n + 1)!

müsste es lauten.

Edit: Du hast es schon selbst gesehen ;-)

Wunderblume aktiv_icon

13:21 Uhr, 10.03.2012

mich verwirrt zwar, dass man hier die formel anscheinend nicht mehr richtig eingeben kann, aber zumindest hab' ich eine kleine Ahnung wie ich das jetzt angehen soll. Für die 2. benutze ich also einfach die erste und dann muss ich das so umformen, dass das richtige ergebnis herauskommt.
Danke für die Hilfe :-), ich werd mich jetzt nochmal selbst auf die Aufgabe stürzen und sie mit eurer Hilfe hoffentlich meistern ;-)

Liebe Grüße

Shipwater aktiv_icon

13:42 Uhr, 10.03.2012

Was soll mit der Formeleingabe sein?

982422

981866

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?