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Binomischer Lehrsatz

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Beweis, Sonstig, Summenformel

Lauralisa aktiv_icon

10:22 Uhr, 02.11.2015

Hallo alle zusammen ich habe diese folgenden Aufgaben (siehe Bild) also ich habe sie

a)

so gelöst indem ich für die klammern mit exponenten die Binomische formel angewendet habe die

m 5 = 4

wenn ich dann beide seiten ausrechne bekomme ich das gleiche raus aber ich weiß dann nicht ob es dann für alle

n

element

N

bewiesen wurde. Wir haben aber den Binomischen Lehrsatz mit der Vollständigen Induktion bewiesen also muss es doch für alle

n

element

N

gelten oder ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Fabienne- aktiv_icon

11:18 Uhr, 02.11.2015

Hi,

mir ist überhaupt nicht klar, was du nun eigentlich getan hast.

Es sollte aber auch viel leichter sein, als du es gemacht hast (was wahrscheinlich leider falsch ist).

Was fehlt in deinem Term auf der linken Seite, dass du den binomischen Lehrsatz anwenden kannst?

Lauralisa aktiv_icon

15:37 Uhr, 02.11.2015

Da fehlt nichts man kann den Binomischen Lehrsatz anwenden weil

{(a + b)}^{n} =

Binomischer Lehrsatz. Und ich habe das einfach so gemacht und auf beiden seiten kommt ja auch das gleiche raus :-D)

ledum aktiv_icon

16:06 Uhr, 02.11.2015

Hallo
ich verstehe nicht warum du das mit

m_{5} = 4

gemacht hast, du sollst das allgemein mit einer beliebigen Zahl

m_{5}

tun und natürlich dem Exponenten

n

du musst nur einfach den bekannten Bin. Satz richtig benutzen, was du mit

m_{5} = 4

gemacht hast kannst du doch sicher allgemein?
in Beweisen für allgemeine Zahlen spezielle einzusetzen ist nie ein Beweis, manchmal hilft es einem es mal mit ner speziellen Zahl auszuprobieren, aber dann muss es allgemein.
Gruss ledum

Lauralisa aktiv_icon

16:09 Uhr, 02.11.2015

Hallo

m 5 = 4

wir sollen die m5te Ziffer unserer Matrikelnummer benutzen von da kommt die vier :-D)

Lauralisa aktiv_icon

17:03 Uhr, 02.11.2015

Kann ich das allgemein mit einem Induktionsbeweis zeigen oder geht das noch einfacher?

ledum aktiv_icon

19:21 Uhr, 02.11.2015

Hallo

b)

ist ohne Induktion,

c)

steht ja Induktion
wenn du

a)

mit allgemeinem

m_{5}

meinst schreib einfach statt

m_{5} + 3 = ((m_{5} + 2) + 1)

Gruss ledum.

Roman-22

19:22 Uhr, 02.11.2015

Du darfst also laut Angabe

{(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} [(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot a^{k} \cdot b^{n - k}]

verwenden - das ist fein.

Was wird denn da draus, wenn du

a = m_{5} + 2

und

b = 1

setzt?

R

EDIT: Sorry, hatte nicht bemerkt, dass ledum offenbar bereits am Antworten war.

Lauralisa aktiv_icon

20:45 Uhr, 02.11.2015

Hmm ich verstehe das nicht ganz

m 5

ist doch eine zahl ich glaube der prof möchte das wir da eine zahl einsetzen und die m5tr zeile meiner matrikelnummer ist die 4.
Wenn ich das so allgemein schreibe was bringt mir das denn ? Ich verstehe das nicht ganz:/
Und die

b

habe ich wieder für die klammern den binomoschen lehrsatz angewendet aber ich komm da nicht weiter. Bei der

c)

habe ich nur den induktionsanfang geschafft

\frac{:}{}

Roman-22

21:07 Uhr, 02.11.2015

Leider sehe ich nicht, ob ledum online ist, aber jedenfalls wird

d z t

nicht geantwortet.

>

ich glaube der prof möchte das wir da eine zahl einsetzen und die m5tr zeile meiner matrikelnummer ist die 4.
Na, dann werte die gegebenen Vorschläge eben für

{(4 + 3)}^{n} = {(6 + 1)}^{n} = ...

. aus.

>

Wenn ich das so allgemein schreibe was bringt mir das denn ?
Du hättest damit die Aufgabe für alle möglichen Werte für

m_{5}

und somit in einem Aufwasch mit gleichem Aufwand gleich für alle deine Kommilitonen erledigt ;-)

>

Und die

b

habe ich wieder für die klammern den binomoschen lehrsatz angewendet aber ich komm da nicht weiter.
Bei

b)

kannst du zweimal ganz grob abschätzen und

n \geq 2

geht nur bei der zweiten Abschätzung ein.
EDIT: Unfug. Die Voraussetzung geht natürlich auch gleich am Anfang ein, da es nur für

n \geq 2

ein Glied mit

x^{2}

gibt ;-)

Überlege dir, wie der Summand mit

x^{2}

bei

{(1 + 2 x)}^{n}

aussieht, ob alle anderen Summanden größer Null sind

(x \geq 0)

und was daher passiert, wenn du alle anderen Summaden einfach unter den Tisch fallen lässt.

Stell deine Rechnung dann hier ein und wir können dort weiter machen, wo du nicht weiter kommst.

R

Lauralisa aktiv_icon

14:57 Uhr, 03.11.2015

Danke Roman-22 :-) also verstehe ich das richtig bei der

a)

1über0

\cdot {(4 + 2)}^{0} +

1über1

\cdot {(4 + 2)}^{1} = 7

1über0

\cdot {(4 + 2)}^{0} \cdot 1 +

1über1

\cdot {(4 + 2)}^{1} \cdot 1 = 7

Hätte ich das das somit bewiesen für alle

n

Element

N

bzw ist das jetzt richtig?

Lauralisa aktiv_icon

17:55 Uhr, 03.11.2015

also die

b)

habe ich jetzt nur soweit geschafft und weiß aber nicht ob es richtig ist:

{(1 + 2 x)}^{n} \geq n^{2} x^{2}

Ich habe

(1 + 2 x)

als den Binomischen Lehrsatz aufgeschrieben so steht es in der Aufgabe also da für

n \geq 2

= 2über0

1^{0} \cdot 2 x^{2} +

2über1

1 \cdot 2^{1} +

2über2

1 \cdot 2^{2} \geq n^{2} \cdot x^{2}

= 2 x^{2} + 4 x + 1 \geq 2^{2} + x^{2}

= 2 x^{2} + 4 x + 1 \geq 2 x^{2}

Ich weiß nicht ob es so weit richtig ist oder ob ich einen Fehler gemacht habe

Lauralisa aktiv_icon

17:55 Uhr, 03.11.2015

also die

b)

habe ich jetzt nur soweit geschafft und weiß aber nicht ob es richtig ist:

{(1 + 2 x)}^{n} \geq n^{2} x^{2}

Ich habe

(1 + 2 x)

als den Binomischen Lehrsatz aufgeschrieben so steht es in der Aufgabe also da für

n \geq 2

= 2über0

1^{0} \cdot 2 x^{2} +

2über1

1 \cdot 2^{1} +

2über2

1 \cdot 2^{2} \geq n^{2} \cdot x^{2}

= 2 x^{2} + 4 x + 1 \geq 2^{2} + x^{2}

= 2 x^{2} + 4 x + 1 \geq 2 x^{2}

Ich weiß nicht ob es so weit richtig ist oder ob ich einen Fehler gemacht habe

Lauralisa aktiv_icon

17:55 Uhr, 03.11.2015

also die

b)

habe ich jetzt nur soweit geschafft und weiß aber nicht ob es richtig ist:

{(1 + 2 x)}^{n} \geq n^{2} x^{2}

Ich habe

(1 + 2 x)

als den Binomischen Lehrsatz aufgeschrieben so steht es in der Aufgabe also da für

n \geq 2

= 2über0

1^{0} \cdot 2 x^{2} +

2über1

1 \cdot 2^{1} +

2über2

1 \cdot 2^{2} \geq n^{2} \cdot x^{2}

= 2 x^{2} + 4 x + 1 \geq 2^{2} + x^{2}

= 2 x^{2} + 4 x + 1 \geq 2 x^{2}

Ich weiß nicht ob es so weit richtig ist oder ob ich einen Fehler gemacht habe

Lauralisa aktiv_icon

17:55 Uhr, 03.11.2015

also die

b)

habe ich jetzt nur soweit geschafft und weiß aber nicht ob es richtig ist:

{(1 + 2 x)}^{n} \geq n^{2} x^{2}

Ich habe

(1 + 2 x)

als den Binomischen Lehrsatz aufgeschrieben so steht es in der Aufgabe also da für

n \geq 2

= 2über0

1^{0} \cdot 2 x^{2} +

2über1

1 \cdot 2^{1} +

2über2

1 \cdot 2^{2} \geq n^{2} \cdot x^{2}

= 2 x^{2} + 4 x + 1 \geq 2^{2} + x^{2}

= 2 x^{2} + 4 x + 1 \geq 2 x^{2}

Ich weiß nicht ob es so weit richtig ist oder ob ich einen Fehler gemacht habe

Roman-22

10:52 Uhr, 04.11.2015

Ist dir eigentlich der Unterschied zwischen

{(1 + 2 x)}^{n}

und

{(1 + 2 x)}^{2}

nicht klar?
Du sollst deine Aussagen (und das gilt auch für

a))

für beliebige

n \in ℕ_{\geq 2}

zeigen. Das ist mit Sicherheit nicht damit getan, wenn du die Richtigkeit nur für

n = 2

zeigst.
Der binomische Lehrsatz

{(a + b)}^{n} = ... .

. gilt ja auch nicht nur für

n = 2!

Im Übrigen empfehle ich dir einen Blick in www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf um deine Ausführungen lesbarer zu machen.

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

kann man im Textmodus zB so schreiben: "((n),(k))" (ohne Anführungsstriche).

R

Lauralisa aktiv_icon

18:43 Uhr, 04.11.2015

ich weiß das die aufgabe einfach ist aber irgendwie komme ich nicht auf das ergebnis. Ich verstehe gar nicht was du sagst. Der binomische lehrsatz wurde für alle

n

elemen

N

bewiesen. Ich habe doch gemacht was du gesagt hast bei der

a)

was soll ich denn noch machen ?

Roman-22

01:27 Uhr, 05.11.2015

>

Ich habe doch gemacht was du gesagt hast bei der

a)

was soll ich denn noch machen ?
Vielleicht hast du vergessen, deine Rechnung zu posten, aber alles, was ich hier gesehen habe (dein Post vom

3.11.2015, 14 : 57)

ist, dass du die Richtigkeit von

a)

nur für

n = 1

(und deine Matrikelziffer 4)gezeigt hast (und beide Male richtigerweise 7 erhalten hast). Damit ist doch nicht gezeigt, dass es auch für

n = 2,

oder irgend ein anderes

n

gilt.

Was ich am

2.11

. um

21 : 07

geschrieben habe, was du machen sollst, war, den Ausdruck

{(6 + 1)}^{n}

nach der Binomischen Formel anzuschreiben und welche Formel das ist, hab ich bereits am

2.11

. um

19 : 22

geschrieben.
Wo hättest du etwas derartiges hier gemacht? Ich seh's jedenfalls nicht.

R

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