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Cauchy Folge beweisen

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Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Cauchy Folge, Folgen, Grenzwert, Reihen

nero08 aktiv_icon

19:31 Uhr, 08.09.2010

hi leute!!

folgendes Problem ich quäle mich gerade mit der cauchy folge.

bei folgendem Beispiel möchte ich gerne beweisen, dass es sich um eine cauchy folge handelt. wie gehe ich vor?

$a_{1} = 1 a_{n + 1} = \frac{1}{4} * a_{n}^{2} + 1$

ich habe bereits die Folgenglieder berechnet(1,1.25,1.39...)

festgestellt das sie monoton wachsend und den Grenzwert bzw. die Schranke 2 besitzt

jetzt stellt sich mir nur die Frage wie gehe ich weiter vor?

muss ich die Folge auf eine explizite form bringen?

dann könnte ich mit | an - g| < Epsilon ja das N leicht berechnen. nur wie bringe ich eine rekrusive Folge möglichst schnell in eine Explizite Form? oder erspar ich mir die Umwandlung?

bitte um Hilfe :)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Alx123 aktiv_icon

21:17 Uhr, 08.09.2010

Hallo,

wenn es nur darum geht zuzeigen das es eine Cauchy-Folge ist, dann bist du schon fertig, denn du hast ja schon gezeigt das sie monoton wächst und beschränkt ist, daraus folgt nach dem Monotonie-Kriterium, das die Folge konvergiert und es gilt ja:

Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.

nero08 aktiv_icon

23:27 Uhr, 08.09.2010

ok danke!!!

aber trotzdem würde ich es interessant finden, wie es denn aussehen würde Cauchy- Methode(oder wie das auch heißen mag) lösen würde?

Alx123 aktiv_icon

14:33 Uhr, 09.09.2010

Es geht aber schon um die Cauchy-Definition? Den oben hast du ja die normale Grenzwertdefinition hingeschrieben.

nero08 aktiv_icon

14:48 Uhr, 09.09.2010

aso jetzt verstehe ich | an - g| < Epsilon ist die Grenzwertdefinition. bei cauchy vergleiche ich ja die beiden nachbarn oder ?

aber cauchy mache ich schon um festzustellen, dass der Abstand zum Grenzwert immer kleiner wird? hmm.... also wenn die Differenz von zwei Folgegliedenr kleiner ist als mein beliebig gewählter abstand Epsilon konvergiert die Folge richtig?

mich würde nur interessieren, wie das anhand dieses Beispiels aussehen würde.

Alx123 aktiv_icon

15:36 Uhr, 09.09.2010

Das kannst du so nicht sagen. Bei der Cauchy-Definition geht es "erst" garnicht um Konvergenz, es geht einfach darum das ab einem bel.

ε

ein

N_{0}

existiert so das für alle

n, m > N_{0}

gilt:

∣ a_{n} - a_{m} ∣ < ε

also alle Folgeglieder mit einem grösseren Index als

N_{0}

müssen diese Ungleichung erfüllen, nicht nur der direkte Nachfolger.

Deine Folge ist beschränkt:

a_{1} = 1

und eine obere Schranke ist

2

, hast du geschrieben, das werde ich benutzen. Da gilt:

∣ a_{m} - a_{n} ∣ = ∣ a_{n} - a_{m} ∣

kann man sich darauf beschränken nur

m > n

zubetrachten ( oder umgekehrt ).

∣ a_{m} - a_{n} ∣ = ∣ \frac{1}{4} \cdot (a_{m - 1})^{2} + 1 - \frac{1}{4} \cdot (a_{n - 1})^{2} - 1 ∣ = ∣ \frac{1}{4} \cdot (a_{m - 1})^{2} - \frac{1}{4} \cdot (a_{n - 1})^{2} ∣

= \frac{1}{4} \cdot ∣ (a_{m - 1})^{2} - (a_{n - 1})^{2} ∣ = \frac{1}{4} \cdot ∣ a_{m - 1} - a_{n - 1} ∣ \cdot ∣ a_{m - 1} + a_{n - 1} ∣

< \frac{1}{4} \cdot ∣ a_{m - 1} - a_{n - 1} ∣ \cdot 4 < . . . . . < \frac{1}{4} \cdot ∣ a_{m - (n - 1)} - a_{1} ∣ = \frac{1}{8} \cdot ∣ (a_{m - n})^{2} ∣

das wird nichts, das ist zugrob abgeschätzt. Die Idee war es das bei jeder Abschätzung man einen
Faktor

< 1

vor den Betrag ziehen kann und letztendlich so eine Nullfolge entsteht, muss ich mir noch überlegen, vielleicht hat ja auch jemand anders eine Idee.

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