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Definition der Differentialrechnung und Taylor

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Grenzwerte

Tags: Differentiation, Grenzwert, Taylorpolynom

 
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phystudent

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14:46 Uhr, 31.10.2015

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Hallo zusammen,

im Allgemeinen ist doch differenzieren und DGL's lösen ja recht einfach, aber im Studium haben wir nun die Definiton der Differentialrechnung genau angschaut und ich verstehe diese noch nicht so recht.

Man sagt, dass eine Funktion f im Punkt x_0 differenzierbar ist, falls folgender Grenzwert exisitert: limx→x0f(x)-f(x0)x-x0

Fragen:
1. Was würde rauskommen, wenn kein Grenzwert existieren würde?
2. Also durch diesen Grenzwert kann man nun auch Steigungen an einem Punkt x_0 ausrechnen, indem man einen Punkt x_0 hat und diesen immer mehr annähert, x soll aber ungleich x_0 sein, aber x muss sehr sehr klein sein. Naja somit ist auch f(x) dementsprechend sehr klein und man hat ein sehr kleines Verhältnis zwischen den Seiten des Steigungsdreieck. Im Prinzip wird die Steigung der Tangente im Punkt x_0 berechnet.

Dann gibts auch noch folgende Schreibweise, man setzt für x einfach x_0+h ein:
limh→0f(x0+h)-f(x0)h

Auch dazu zwei Fragen:
3. Das ergibt für mich keinen Sinn, denn hier ist doch nichtmal die herkömmliche Form zum Steigung berechnen "y/x" vorhanden. Darf man das überhaupt so machen? Für x irgendwas einsetzten? Im dem Fall x0+h

4. Plötzlich kommt dann auch auf einmal ein sog. Restglied r(h)=f(x0+h)-f(x0)+fʹ(x0)*h und limh→0r(h)h=limh→0f(x0+h)-f(x0)h+fʹ(x0)
4.1 Von wo kommt "r(h)" plötzlich her?
4.2 Wie man vom R(h) auf dem Limes kommt, ist einfaches umformen, doch warum schreibe ich nun r(h) in den Zähler beim Limes?

Ich hoffe ihr könnt mir hier weiterhelfen!

Danke.

Gruß
phystudent

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

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ledum

ledum aktiv_icon

19:58 Uhr, 31.10.2015

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Hallo
wie habt ihr den auf der Schule "differenzieren" bzw Ableitung bilden eingeführt?
meist tut man das doch über den Grenzwert der Sekantensteigung?
Dgl zu lösen ist i.a. NICHT einfach, vielleicht kennst du nur ein paar einfache Fälle? (die meisten Dgl. die in Technik. Physik und anderen Anwendungen auftreten kann man nur numerisch lösen!
zu deinen Fragen :
1. kein GW existiert, dann existiert an dem Punkt die Ableitung nicht. Beispiel ln(x) für x gegen 0 wird 00
oder es gibt keinen GW weil für x>x0 und x<x0
verschiedene GW rauskommen. Beispiel f(x)=|x| bei x=0
Die Steigung eines funktionsgraphen, wird durch diesen GW definiert, weil man zeigen kann dass das die beste lineare Approximativ der Kurve an dieser Stelle ist. Steigung einer kurve muss man definieren, aber natürlich mit einer vernünftigen Definition, und da ist diese.
wenn man die Steigung bzw Ableitung einer funktion bilden will an der Stelle x0 kann man ein x nehmen und x auf x0 "zulaufen lassen. statt aber x zu schreiben, kann ich auch sagen, ich nehme x=x⊕h(h kann positiv und negativ sein, wenn h gegen 0 geht ist es dasselbe wie wenn x gegen x0 geht. also sind ie 2 Schreibweisen eigentlich dasselbe. nur beeim Rechnen ist es oft einfacher zu sagen h gegen 0 als x gegen x0
auch hier wird vor dem GW die Steigung der Sekante zwischen dem Punkt x0 und dem Punkt x0+h berechnet. ob ich sage ich rechne die Steigung zwischen x=2 und x=2,1 aus oder zwischen x=2 und x=2+0,1 ist einfach dasselbe.
Die "herkömmliche" Steigung yx gibt es nur für Geraden durch 0 also y=m⋅x
schon für y=mx+b ist yx sicher keine Steigung!
Restglied: 1. ist das einfach definiert
wie du geschrieben hast so dass also rhh der unterschied zwischen SekantenSteigung zwischen xo und x0+h und der Tangentensteigung ist.
es sagt ausserdem dass man f(x0+h)=f(x0)+h⋅f'(x0)+r schreiben kann, wobei r umso kleiner wird, je kleiner h ist
Der Teil ist sehr nützlich, wenn man Funktionen, deren Wert und Ableitung man an einem Punkt man ausrechnen kann an einem benachbarten Punkt ausrechnen will. Wie würdest du etwa 1,05 ausrechnen (auf 2 Stellen genau) wenn du nur 1 kennst und die Ableitung an der Stelle 1 (die 12 ist
oder sin(x) für kleine x, wenn du sin(0) und die Ableitung (cos(0) kennst?
für 1,05=1+0.05⋅12+r(0.05)=1,025+r
überprüfe: 1,0252=1.0506.. also ganz gut. aber eben nicht exakt
ist h=0.01 statt 0.05 ist r noch viel kleiner usw.
Warum lässt du dich nicht erstmal auf die für dich anscheinend neuen Definitionen ein? Auf der Schule wird heute leider da vieles nicht mehr gemacht, kannst du mir erklären warum "differenzieren" einfach ist, wenn man nicht einfach glaubt (xz)'=z⋅xz-1 oder die Produktregel oder die kettenregem, oft lernt man die auf der Schule ohne vernünftige Argumentation einfach auswendig, aber das ist nicht mathe, ich kann einem Hund beibringen von xz das z davor zu setzen und oben ein ein kleineres hinzusetzen, kann er dann differenzieren?
Gruß ledum

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