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Definition einer Gruppe von bijektiven Abbildungen

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Abbildung, Beweis, bijektiv, Gruppe, Transformationen

Katzu aktiv_icon

17:59 Uhr, 22.05.2008

Hallo ich komme mal wieder mit meinem Arbeitsblatt nicht zurecht.
Wir sprechen von bijektiven Abbildungen und Transformationen.
Die Aufgabe lautet:
Zeigen sie: Die Menge aller bijektiven Abbildungen R²->R² ist eine Gruppe.
Um das zu zeigen haben wir vier Axiome festgelegt:
Abgeschlossenheit, Assoziativität, Inverse, Neutrales Element

Für die Assoziativität habe ich mir folgendes überlegt, bin mir aber über die Schreibweise nicht klar.

Für alle

S, U, V

aus der Menge

T

gilt:

S°(U°V) = (S°U)°V da

S (x), U (x), V (x)

alle Element von

T

und auch

S (U (V (x))),

also

auch

S (

U°V(x)) oder S°U(V(x)) oder so ähnlich...

Weiter bin ich leider nicht gekommen.
Schon mal vielen Dnak für eure Hilfe,
Katrin

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pwmeyer aktiv_icon

18:14 Uhr, 22.05.2008

Hallo,

wertet man die Verknüpfungen mit beiden Klammerungen nach Definition aus, erhält man jeweils

S (U (V (x)))

.

Gruß pwm

Katzu aktiv_icon

15:11 Uhr, 24.05.2008

Hättest du auch Ideen zu den anderen drei Teilen des Beweises?

hagman aktiv_icon

20:19 Uhr, 24.05.2008

Abgeschlossenheit:
Seien

f, g : ℝ^{2} \to ℝ^{2}

bijektiv. Dann ist auch

f \circ g

bijektiv:

a)

injektiv: aus

g (f (x)) = g (f (y))

folgt

f (x) = f (y),

weil

g

injektiv ist und dann

x = y,

weil

f

injektiv ist.

b)

surjektiv: Zu

x \in ℝ^{2}

gibt es ein

y \in ℝ^{2}

mit

g (y) = x,

weil

g

surjektiv ist. Hierzu gibt es ein

z \in ℝ^{2}

mit

f (z) = y,

weil

f

surjektiv ist. Es gilt

g (f (z)) = x

.

Neutrales Element:
Die identische Abbildung

i : ℝ^{2} \to ℝ^{2}

ist neutral, denn für alle (bijektiven)

f : ℝ^{2} \to ℝ^{2}

gilt

i \circ f = f,

(i \circ f) (x) = i (f (x)) = f (x)

für alle

x

gilt; ebenso

f \circ i = f

wegen

(f \circ i) (x) = f (i (x)) = f (x)

.

Inverse:
Sei

f : ℝ^{2} \to ℝ^{2}

eine bijektive Abbildung.
Wir definieren eine Abbildung

g : ℝ^{2} \to ℝ^{2}

wir folgt:
Sei

x \in ℝ^{2}

gegeben. Da

f

surjektiv ist, gibt es ein

y \in ℝ^{2}

mit

f (y) = x

. Dies ist sogar eindeutig, denn falls auch

f (z) = x

gilt, folgt wegen der Injektivität aus

f (z) = f (y)

sofort

z = y

. Definiere

g (x) := y

.
Die so definierte Abbildung

g : ℝ^{2} \to ℝ^{2}

ist invers zu

f,

denn es gilt für

x \in ℝ :

(g \circ f) (x) = g (f (x)) =

"dasjenige

y \in ℝ^{2}

mit f(y)=f(x)"

= x

sowie

(f \circ g) (x) = f (g (x)) =

f("dasjenige

y \in ℝ^{2}

mit f(y)=x")

= x

Also

g \circ f = f \circ g = i

.

Bemerkung:
Es wurden nirgends Eigenschaften von

ℝ^{2}

benutzt, die Argumentation hätte mit jeder anderen Menge anstelle von

ℝ^{2}

ebenso funktioniert. Wir schließen daraus:
Für jede beliebige Menge bildet die Menge der bijektiven Abbildungen dieser Menge auf sich eine Gruppe (mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung).

Katzu aktiv_icon

19:05 Uhr, 25.05.2008

VIelen Dank, so wird mir schon einiges klarer. Allerdings wäre ich selber nie drauf gekommen.
Mein Teil zur Abgeschlossenheit ist ja nicht wirklich vollständig. Ich weiß immer nicht wie ich überhaupt anfangen muss.
WIe geht man denn da vor?
Ich muss ja eigetlich erstmal angeben womit ich arbeite, oder?
Wenn ich also schreibe

g (f (x))

dann muss ich

g, f

Element

T

angeben, richtig? Da es sich bei

T

um Transformationen handelt, muss ich da nicht noch irgendwas speziell zu den Eigenschaften von

T

beachten?
Reicht das, wenn ich dann behaupte, dass aus

g (f (x))

auch f(g(x))wird, weil ich auf g°f=f°g, mit

g, f

Element

T

hinaus will?

Hätte vielleicht jemand einen Tipp für einen Nachhilfelehrer in Köln? Ich kann

15, -

die Stunde zahlen.

Lieben Gruß Katrin

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