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Definition von Addition und Multiplikation

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Gegenzahl, Kehrzahl

Niezi aktiv_icon

14:09 Uhr, 27.06.2009

Hallo ihr lieben.

Ich habe vollgende Aufgabe zu lösen und hoffe jemand kann mir behilflich sein.

Wir betrachten wieder die Menge der Paare ganzer Zahlen

(z, n),

wobei wir

n

ungleich Null voraussetzen. Dann definieren wir eine Relation:

(z, n) ~ (z', n') \Leftrightarrow

zn'= nz'

(Das haben wir bereits letzte Woche schon als Äquivalenrelation nachgewiesen!) Die neue Aufgabe dazu lautet:

Definieren Sie die Addition für solche Äquivalenzklassen und die Multiplikation. Tip:
Denken Sie an die Bruchrechnung.

Da habe ich mir folgendes zu ausgedacht
Addition:

(z, n) ~ (z', n') \Leftrightarrow

(zn'+z'n)

/ (n \cdot n')

Multiplikation:

(z, n) ~ (z', n') \Leftrightarrow

(zz')

/ (n \cdot n')

Dieses Zeichen / soll einen Bruchstrich darstellen.

Bin ich da überhaupt auf dem richtigen Weg?

Weiter lautet die Aufgabe:
Zeigen Sie: Es gibt jeweils ein Element, das sich neutral verhält (eine “Null“ und eine „Eins“)

Das ist ja einfach: Bei der Addition die

0,

z . B

5 + 0 = 5

Bei der Multiplikation die

1,

z . B

5 \cdot 1 = 5

Ich hoffe das reicht hier, oder kann man das noch irgendwie beweisen.

Naja aufjedenfall soll ich nun folgendes Beweisen: Zu jeder Zahl (sprich: Äquivalenzklasse) gibt es eine Gegenzahl (Inverses bzgl. Addition) und eine Kehrzahl (Inverses bzgl. der Multiplikation). Bei der letzteren Aussage muss man allerdings ein Element ausnehmen. Welches ist das und warum ist das notwendig?

Hier weiß ich nicht weiter. Die Gegenzahl von 4 ist

z . B

- 4

. Aber wie beweis ich das?? Und was genau ist eine Kehrzahl?

Hoffe mir kann jemand helfen!!

Lg
Niezi

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

m-at-he

17:19 Uhr, 28.06.2009

Hallo,

was Du machen sollst ist, die beiden Operationen auf den Äquivalenzklassen definieren und dann mußt Du zeigen, daß diese Definitionen wirklich Operationen auf den Äquivalenzklassen sind.

Addition:

(z_{1}; n_{1}) + (z_{2}; n_{2}) = (z_{1} \cdot n_{2} + z_{2} \cdot n_{1}; n_{1} \cdot n_{2})

Zu zeigen:

(z_{1}; n_{1}) ~ (z_{1}'; n_{1}')

und

(z_{2}; n_{2}) ~ (z_{2}'; n_{2}') \Rightarrow (z_{1}; n_{1}) + (z_{2}; n_{2}) ~ (z_{1}'; n_{1}') + (z_{2}'; n_{2}')

Multiplikation:

(z_{1}; n_{1}) \cdot (z_{2}; n_{2}) = (z_{1} \cdot z_{2}; n_{1} \cdot n_{2})

Zu zeigen:

(z_{1}; n_{1}) ~ (z_{1}'; n_{1}')

und

(z_{2}; n_{2}) ~ (z_{2}'; n_{2}') \Rightarrow (z_{1}; n_{1}) \cdot (z_{2}; n_{2}) ~ (z_{1}'; n_{1}') \cdot (z_{2}'; n_{2}')

anny298 aktiv_icon

19:03 Uhr, 28.06.2009

Hi Niezi

hab heut mir auch den kopf darüber zerbrochen, habs in nem anderen beitrag niedergeschrieben

http//www.onlinemathe.de/forum/%C3%84quivalenzrelationen

Niezi aktiv_icon

13:11 Uhr, 30.06.2009

Danke euch beiden, ihr habt mich auf den richtigen Weg gebracht.

Lg
NIezi

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