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Definitionsbereich und Grenzwerte einer rationalen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Definitionsbereich, Grenzwert

bunebu aktiv_icon

23:32 Uhr, 14.10.2010

Hallo,

Die Aufgabe lautet:
Die Funktion

f

sei gegeben durch

f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{(x - 1) (x + 2)}

Bestimmen Sie den Definitionsbereich von

f,

die NST von

f,

die Grenzwerte von

f

für

x \to \pm \infty, x \to 1, x \to - 2

.

So jetzt ich:

D = ℝ

{

-2}, weil

f (x) = \frac{x - 2}{x + 2 \neq 0}

Die NST lautet

x = 2

lim_{x \to - \infty} (f (x)) = 1

und

lim_{x \to + \infty} (f (x)) = 1

.
Rechnung:

lim_{x \to + \infty} (f (x)) = \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{1 - 2 x^{- 1}}{1 + 2 x^{- 1}} = \frac{1}{1} = 1

lim_{x \to - \infty} (f (x)) = \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{1 + 2 x^{- 1}}{1 - 2 x^{- 1}} = \frac{1}{1} = 1

Soweit richtig?

Läuft
Wie rechne ich

lim_{x \to - 2} (f (x)) =

? und

lim_{x \to 1} (f (x)) =

?

Der Graph sieht am Ende so aus:

Danke

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Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
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hagman aktiv_icon

09:06 Uhr, 15.10.2010

Wieso bist du der Meinung, dass der Ausdruck

\frac{x^{2} - 3 x + 2}{(x - 1) (x + 2)}

für

x = 1

definiert sei?

bunebu aktiv_icon

16:09 Uhr, 15.10.2010

Hi,

weil ich den Zähler von

f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{(x - 1) (x + 2)}

also

f z (x) = x^{2} - x + 2

in ihre Linearfaktoren zerlegt habe.

D . h

f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{(x - 1) (x - 2)}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{x - 2}{x + 2}, D = ℝ

{

-2}.

So und jetzt meine ich, dass

lim_{x \to 1} (f (x)) = - \frac{1}{3}

läuft, da

lim_{x \to 1} (f (x)) = \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{1 - 2 x^{- 1}}{1 + 2 x^{- 1}} = - \frac{1}{3}, x = 1

. Richtig?

Laut Graphen logisch betrachtet, soll

lim_{x \to - 2} (f (x)) = + \infty

laufen. Doch wie rechne ich

lim_{x \to - 2} (f (x))

.

Wenn ich

x = - 2

für

lim_{x \to - 2} (f (- 2)) = \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{1 - 2 x^{- 1}}{1 + 2 x^{- 1}}

kommt da

\frac{0}{2} = 0

raus. Aber der soll gegen

+ \infty

laufen. Nur wiee?

Shipwater aktiv_icon

16:18 Uhr, 15.10.2010

Hallo,

\frac{(x - 1) (x - 2)}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{x - 2}{x + 2}

gilt nur für

x \neq 1,

da dann

\frac{x - 1}{x - 1} = 1

f (x) = \frac{(x - 1) (x - 2)}{(x - 1) (x + 2)}

und

g (x) = \frac{x - 2}{x + 2}

sind unterschiedliche Funktionen! Du musst alle Nennernullstellen von

f (x)

also

x_{1} = - 2

und

x_{2} = 1

aus dem Definitionsbereich ausschließen. An der Stelle

x = 1

liegt eine hebbare Lücke vor. Aber dennoch ist

f (x)

dort nicht definiert, da

\frac{0}{0}

ein unbestimmter Ausdruck ist.

\Rightarrow D = ℝ

{

- 2; 1}

Gruß Shipwater

bunebu aktiv_icon

16:22 Uhr, 15.10.2010

Hi shipwater,

wenn ich

f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{(x - 1) (x + 2)}

und

f (x) = \frac{x - 2}{x + 2}

zeichnen lasse, kommt derselbe Graph raus... Auch wenn ich

f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{(x - 1) (x + 2)}

zeichnen lasse, sieht man, dass bei der

x = 1

Stelle keine Lücke ist.

Oder täusch ich mich da?

Shipwater aktiv_icon

16:27 Uhr, 15.10.2010

Die entsprechenden Funktionsgraphen sind auch nahezu identisch. Der einzige Unterschied liegt darin, dass

f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{(x - 1) (x + 2)}

eine Lücke bei

x = 1

hat,

g (x) = \frac{x - 2}{x + 2}

jedoch bei

x = 1

definiert ist mit

g (1) = - \frac{1}{3}

. Deswegen gilt wie du auch schon erwähnt hattest

lim_{x \to 1} f (x) = - \frac{1}{3}

Auf die Funktionsplotter solltest du dich nicht verlassen, diese beachten für gewöhnlich keine Lücken.

Gruß Shipwater

bunebu aktiv_icon

16:30 Uhr, 15.10.2010

Danke :-)

beim Zoomen ist mir folgendes aufgefallen: siehe Bild

und wie zeige ich, dass

lim_{x \to - 2} (f (x)) = + \infty

läuft?

Shipwater aktiv_icon

16:37 Uhr, 15.10.2010

Rechtsseitiger Grenzwert:

lim_{x \to - 2^{+}} \frac{x - 2}{x + 2} = lim_{n \to \infty} \frac{- 2 + \frac{1}{n} - 2}{- 2 + \frac{1}{n} + 2} = lim_{n \to \infty} \frac{- 4 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = lim_{n \to \infty} (- 4 + \frac{1}{n}) n = lim_{n \to \infty} - 4 n + 1 = - \infty

Linksseitiger Grenzwert:

lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 2}{x + 2} = lim_{n \to \infty} \frac{- 2 - \frac{1}{n} - 2}{- 2 - \frac{1}{n} + 2}

Schaffst du den Rest nun alleine?

Gruß Shipwater

bunebu aktiv_icon

16:48 Uhr, 15.10.2010

der sollte doch dann auch gegen 0 laufen, da ich am Ende

- 4 n - 1

rausbekomme? Ich bin völlig durcheinander.... sry

EDIT.

okkk habs verstanden, du hattest dich eben vertippt mit 0 usw. habe am ende

+ 4 n + 1

der läuft gegen

+ \infty ... .

. Mit was hast du denn da erweitert, damit du auf

\frac{- 2 - \frac{1}{n} - 2}{- 2 - \frac{1}{n} + 2}

Shipwater aktiv_icon

16:52 Uhr, 15.10.2010

Ich weiß auch nicht warum ich zuerst

lim_{n \to \infty} - 4 n + 1 = 0

geschrieben habe, das ist natürlich Quark. Es gilt

lim_{n \to \infty} - 4 n + 1 = - \infty

. Habe es oben aber auch schon korrigiert gehabt. Wie kommst du jedoch beim linksseitigen Grenzwert auf

lim_{n \to \infty} - 4 n - 1

?

Gruß Shipwater

bunebu aktiv_icon

16:55 Uhr, 15.10.2010

okkk habs verstanden, du hattest dich eben vertippt mit 0 usw. habe am ende

+ 4 n + 1

der läuft gegen

+ \infty ... .

. Mit was hast du denn da erweitert, damit du auf

lim_{x \to + \infty} (f (x)) = \frac{- 2 - \frac{1}{n} - 2}{- 2 - \frac{1}{n} + 2}

kommst.

Shipwater aktiv_icon

17:00 Uhr, 15.10.2010

Hallo,

erweitert habe ich nicht, der Trick liegt woanders. Und zwar geht

x

für

x \to - 2

gegen

- 2

sowie auch

- 2 + \frac{1}{n}

für

n \to \infty

gegen

- 2

geht. Also ersetze ich

x

durch

- 2 + \frac{1}{n}

und berechne dann aber den Grenzwert

n \to \infty

. In dieser Form lässt sich der Grenzwert dann durch Umformung rechnerisch bestimmen. Für den linksseitigen Grenzwert ersetze ich

x

mit

- 2 - \frac{1}{n}

und lasse auch

n \to \infty

laufen. Hier ziehe ich für hinreichend große

n

ja immer positive Werte von

- 2

ab, so dass die Annäherung von links erfolgt.

Gruß Shipwater

bunebu aktiv_icon

17:03 Uhr, 15.10.2010

Ahhhhhhhhhhhhh, Danke, bist echt korrekt :-). Krass, dass du

17

bist.

Danke danke...

byby

Shipwater aktiv_icon

17:06 Uhr, 15.10.2010

Gern geschehen.

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