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Definitionsbereich und verhalten einer Funktion

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Funktionen

Grenzwerte

Tags: Funktion, Funktionalanalysis, Grenzwert

Anderlin aktiv_icon

18:53 Uhr, 11.03.2015

Hallo,

Ich habe wiedermal Probleme mit einer Funktion bzw. mit der Aufgabe.

Für die Funktion

f (x) = \frac{x^{2} - 3 x}{(x 2 - 2 x - 35) ln ({| x - 3 |}^{3})}

soll der Definitionsbereich hergeleitet werden und das Verhalten an den Rändern untersucht. Dabei sollte man die Art der unstätigkeit angeben.

Ich habe Df gebildet.

R

{- 5,0,2,4,7}

Was meinst man aber mit Verhalten an den Rändern untersuchen? Muss ich jetzt gucken ob die Funktion an den Punkten

{- 5,0,2,4,7}

stätig ist? Also

lim

gegen die Werte laufen?

Kann mir da ein Tipp geben?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Einführung Funktionen
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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Respon

19:06 Uhr, 11.03.2015

Null ?

ledum aktiv_icon

19:15 Uhr, 11.03.2015

Hallo
dass du

- 5

und

+ 7

ausnimmst versteht man, da das Nennerpolynom 0 wird. der

ln

wird 0 bei

x = 0

wird, ebenso

ln

wird 0 bei

x = 2

und 4 aber woher kommt die 0?

ln (0)

ist nicht definiert, also

x = 3

muss ausgenommen werden.
du musst die funktion an sll diesen Stellen bzw wenn man ihnen nahe kommt untersuchen.
also Pole mit oder ohne Zeichewechsel oder einfach Definitionslücken die man stetig ergänzen kann.
man kann funktionen an Stellen an denen sie nicht definiert sind nicht auf Stetigkeit untersuchen, höchstens sie stetig ergänzen, etw hier bei

x = 3

Gruß ledum

Anderlin aktiv_icon

19:23 Uhr, 11.03.2015

Hi,
danke für die schnelle Antwort.
Ich habe total vergessen das

ln

bei 0 undefiniert ist.

Also ist der Df: \\

{- 5,0,2,3,4,7}

. Ähm wie mache ich den die stätige ergänzung?

Gruß Anderlin

Respon

19:25 Uhr, 11.03.2015

Null ?

Anderlin aktiv_icon

19:30 Uhr, 11.03.2015

die Null habe ich aus diesem Grund

ln ({| x - 3 |}^{x}) = 0

\Leftrightarrow

x \cdot ln (| x - 3 |) = 0

\Leftrightarrow

x_{1} = 3

x_{2} = 2

x_{3} = 4

x_{4} = 0

oder ist das falsch mit der Null?

rundblick aktiv_icon

19:31 Uhr, 11.03.2015

. .

. der

ln

wird 0 bei

x = 0

wird, ebenso

ln

wird 0 bei

x = 2

und 4
aber woher kommt die 0?

...

.
"
besorgte Frage: gehts dir gut, ledum?

@ Anderlin :

f (x) = \frac{x \cdot (x - 3)}{3 \cdot (x - 7) \cdot (x + 5) \cdot (ln | x - 3 |)}

\to

ist NICHT definiert für :

\to x = 7

\to x = 4

\to x = 3

\to x = 2

\to x = - 5

fertig.

.

Respon

19:31 Uhr, 11.03.2015

Vergleiche deine Angabe.

Anderlin aktiv_icon

19:32 Uhr, 11.03.2015

bzw.

ln ({| x - 3 |}^{x})

mit

x = 0

ist

\Leftrightarrow

ln (1)

also 0

Deswegen habe ich die Null aus Df rausgenommen

rundblick aktiv_icon

19:35 Uhr, 11.03.2015

.

du hast doch oben nicht den Exponenten

x

bei

| x - 3 |

also NICHT

{| x - 3 |}^{x}

sondern die DREI

\to {| x - 3 |}^{3}

Anderlin aktiv_icon

19:35 Uhr, 11.03.2015

Hi rundblick

Meiner Meinung nach hat ledum hier recht. Meine Antwort unten. Und einfach "nicht definiert kann ich in der Aufgabe nicht hinschreiben" bzw muss ich noch die Art der unstätigkeit angeben.

Anderlin aktiv_icon

19:37 Uhr, 11.03.2015

Sorry die drei ist mir da irgendwie reingerutscht.

rundblick aktiv_icon

19:44 Uhr, 11.03.2015

"
Und einfach "nicht definiert kann ich in der Aufgabe nicht hinschreiben"

Mann

! \to

du sollst den Def-Bereich

D = .

. aufschreiben

\to

also ALLE

x \in R

OHNE die oben aufgezählten Werte

\to

das wirst du doch wohl noch fachgerecht hinbekommen?

und noch dazu: wenn nun plötzlich im Nenner der Faktor

\to

. .

\cdot ln {| x - 3 |}^{x} = . . \cdot x \cdot ln | x - 3 |

stünde - dann kommt der Wert

x = 0

auch noch zu den oben
genannten Werten dazu dh : dann wäre auch

x = 0

nicht in

D

also was nun ?

.

ledum aktiv_icon

19:46 Uhr, 11.03.2015

hallo vei

x = 0

ist dein

ln (3^{3})

bitte schreib stetig und nicht stätig.
die division durch 0 ist nicht definiert, das filt für die Stellen wo

ln

oder das Polynom 0 sind.

ln (a)

ist für

a = 0

nicht definiert also bei

x = 3

Gruß ledum

Anderlin aktiv_icon

20:05 Uhr, 11.03.2015

@ rundblick

genau das habe ich doch oben hingeschrieben

Df ist

R

\\ ohne

{- 5,0,2,3,4,7}

das ist aber nur ein Teil der Aufgabe.

@ ledum

In der Funktion oben ist mir ein Fehler reingerutscht.
Es ist

ln ({| x - 3 |}^{x})

sorry.

Es sollte aber noch das Verhalten an den Rändern untersucht werden. Und genau da komme ich nicht weiter.

Gruß
Anderlin

rundblick aktiv_icon

20:14 Uhr, 11.03.2015

"
Es sollte aber noch das Verhalten an den Rändern untersucht werden"

\to

was meinst du denn mit "Rändern" ..??

und ausserdem:

es ist wohl für die 6 Unstetigkeitsstellen
auch noch deren "Art" gefragt?

bei zwei dieser 6 Stellen besteht
zB die Möglichkeit der stetigen Ergänzung

und ebenso wäre wohl auch das Verhalten bei
den vier Polstellen genauer zu bestimmen?

usw..

ledum aktiv_icon

20:16 Uhr, 11.03.2015

Hallo
eine Nullstelle im Nenner, wobei der Zähler keine nullstelle hat ist immer ein Pol, wil in der näje der Nullstelle der nenner winzig wirdm der Bruch also riesig.
Da der

Z

nicht 0 ist ändert er in der Nähe der nullstelle sien Vorzeichen nicht. das Poly nom ändert an einfachen Nst sein Vorzeichen also hast du an dessen Nullstellen Pole mit Vorzeichewechsel ebenso bei den Nst des

ln

. jetzt nur noch untersuchen von wo nach wo der Vorzeichewechsel ist dazu einen __Wert links und rechts der Nst. einsetzen.
Gruss ledum

Anderlin aktiv_icon

20:47 Uhr, 11.03.2015

Also könnte ich das so sagen.

z . B

lim_{x \to {(- 5)}^{-}} = - \infty

lim_{x \to {(- 5)}^{+}} = \infty

also liegt in

x = - 5

eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

Respon

20:51 Uhr, 11.03.2015

Du kannst

f (x)

auch so schreiben.

f (x) = \frac{x \cdot (x - 3)}{x \cdot (x + 5) \cdot (x - 7) \cdot ln (| x - 3 |)}

Dadurch lassen sich die Vorzeichen in der Nähe einer Polstelle

(- 5; 2; 4; 7)

sofort erkennen.
Hebbare Definitionslücken

3; 0

Anderlin aktiv_icon

20:54 Uhr, 11.03.2015

hi respon

:-) genau so habe ich das auf Papier stehen. Wollte nicht ausschreiben. Danke aber für den Tipp mit den hebbaren Stellen, weil da bin ich nicht drauf gekommen. Bzw. sehe ich sie nicht sofort.

Anderlin aktiv_icon

20:57 Uhr, 11.03.2015

Ok die Stelle bei

x = 0

sehe ich jetzt.

Und bei

x = 3

wäre ja der

ln

nicht definiert. Ist es dann auch eine Hebbare Unstetigkeit?

Gruß

Respon

21:01 Uhr, 11.03.2015

Für

x = 3

macht in der Funktionsgleichung nur folgender Teil "Probleme".

\frac{x - 3}{ln (| x - 3 |)}

Schreibe es so:

(x - 3) \cdot \frac{1}{ln (| x - 3 |)}

Und nun lasse

x

gegen 3 gehen.

Anderlin aktiv_icon

21:08 Uhr, 11.03.2015

aa cool, jetzt habe ich es versanden.

Danke noch ein mal an alle.

Gruß

Anderlin

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