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Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3.Grades

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Hochpunkt, Wendepunkt

 
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ramadan

ramadan aktiv_icon

03:42 Uhr, 07.06.2009

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Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3.Grades hat den Wendepunkt W(0\0) und den Hochpunkt H(2\2). Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion. Bitte eine ausführliche Beschreibung!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
Mujoe

Mujoe aktiv_icon

10:16 Uhr, 08.06.2009

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Hallo,

erstmal musst du schauen, was du aus den gegebenen Punkten lesen kannst.

WP(0/0) ⇒f(0)=0 weil der Graph geht durch den Ursprung und f''(0)=0 weil die Nullstellen der 2ten Ableitung die Wendepunkte sind.

HP(2/2) ⇒f(2)=2 warum sollte klar sein und f'(2)=0 weil die Nullstellen der 1ten Ableitung die Extrempunkte sind.

Du siehst, du hast vier gegebene Punkte, die du auch brauchst, um eine Funktion 3ten Grades zu entschlüsseln.

Als nächstes stellst du die allg. Gleichungen auf:

f(x)=ax³+bx²+cx+d ⇒ f'(x)=3ax²+2bx+c ⇒ f''(x)=6ax+2b

Nun wird durch Einsetzten und der Addition oder Subtraktion die Gleichung aufgestellt, je nachdem wie ihr es gelernt habt. Ich beginne immer mit den Punkten, die bei y=0 auch x=0 sind.

f(0)=0= a*0³+b*0²+c*0+d ⇒d=0
f''(0)=0=6a⋅0+2b⇒b=0

nun siehtst du, dass die Funktion nur noch ax³+cx sein kann, da b und d0 sind. Da du das weißt, können im Folgenden b und d wegfallen.

f(2)=2=a*2³+c*2 ⇒ führt zur ersten Gleichung I. 2=8a+2c
f'(2)=0=3a*2²+c ⇒ führt zur zweiten Gleichung II. 0=12a+c

Nachdem nun eingesetzt wurde, wird nun addiert oder subtrahiert.

Um die Gleichung I. von der Gleichung II. abzuziehen, musst du a oder c auf die gleiche Größe bringen. Es empfiehlt sich, immer von rechts nach links aufzulösen.

Du rechnest also die Gleichung I. geteilt durch 2, um c in den Gleichungen I und II auf die selbe Größe zu bringen und bekommst I*:

I* 1=4a+c

nun rechnest du II-I* = III und erhältst:

III. -1=8a durch umstellen erhältst du a=-18

Nun gehst du den Weg mit deinem a zurück und setzt das a in II. ein:

0=12⋅(-18)+c
0=-32+c⇒c=32 und nun setzt du a und c(b und d sind ja 0) in die allg. Gleichung ein:

f(x)=-18 x³ +32x
und fertig ist's.
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