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Die Definition eines Grenzwertes einer Zahlenfolge
Universität / Fachhochschule
Tags: Grenzwert
 
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Ein Hallo an die Mathematiker unter euch! Ich verstehe nicht die Definition des Grenzwertes einer Zahlenfolge. Als Beispiel soll hier dienen: an . Alle Glieder sind kleiner als also an . Mit zunehmenden Index werden die Glieder der Folge größer, unterscheiden sich aber immer weniger von der Zahl 1. Man kann daraus die Folgerung erkennen, dass in jeder noch so kleinen Umgebung der Zahl 1 fast alle Glieder dieser Folge darin liegen müssen. Somit erkenne ich, dass . B. ab dem . Glied der Abstand aller folgenden Glieder von der Zahl 1 kleiner als sind. Ab dem . Glied sogar nur von der Zahl 1. Also erfüllt wohl die Ungleichung mit oder die Ungleichung an bzw. mit oder die Ungleichung an . an strebt also demnach dem Grenzwert 1 zu, wenn gegen Unendlich strebt. Das ist bis hierhin ja noch leicht nachvollziehbar. Aber in der allgemeinen Definition des Grenzwertes einer Zahlenfolge ist von einem die Rede. Was ist dieses für eine Zahl? Und wenn dann auch noch an0-1 außerhalb und alle darauffolgenden Glieder an0, an0+1, an0+2, usw. innerhalb der betrachtenen Umgebung liegen sollen, verstehe ich gar nichts mehr. Was ist dieses für eine Zahl und wie sind die Begriffe "innerhalb" und "ausserhalb" einer Umgebung zu verstehen? Wie kann ich das bzw. das auf dem Zahlenstrahl interpretieren? Zum besseren Verständnis habe ich mal ein Bild von dem Begriff des Grenzwertes einer Zahlenfolge mit angefügt! PS: das Bild ist aus dem Buch "Mathematik für Ing und Naturwissenschaftler Band 1" S. von L. Papula.  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Grenzwerte im Unendlichen e-Funktion |
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Bleiben wir beim Beispiel Wenn n immer größer wird, wird der Bruch immer kleiner, und du kommst immer näher an die 1 heran, "beliebig nahe"- Der Abstand zu 1 kann nun kleiner als 0,001 oder 0,00001 usw. werden, aber in komplizierteren Ausdrücken kann man oft nicht erkennen, dass der Grenzwert wirklich 1 ist. Deshalb hat man das Ganze formalisiert. Du sollst beweisen, dass man beliebig nahe an 1 kommt. Das heißt: Wenn dir jemand sagt, dass der Abstand zu 1 höchstens 0,001 sein soll, dann kannst du ihm sagen, dass das für und alle weiteren n>1000 zutrifft. Es reicht aber nicht, das nur für 0,001 zu zeigen, sondern auch für noch kleinere Abstände. Eigentlich für alle. Und deshalb nennst du den beliebigen Abstand zu 1 jetzt Ab "irgendwann" wird der Abstand kleiner als das vorgegebene , und dieses "irgendwann" ist der Index In unserem Beispiel ist = 0,001 und = 1000. Zu beliebigem, unbekannten wählst du nun (Es wird deine Aufgabe sein, bei anderen Zahlenfolgen das zu bestimmen.) Dann gilt für alle n> und damit = Alle weiteren sind also näher als an der 1 und liegen somit in der -Umgebung von 1. Diese Umgebung ist der Bereich auf dem Zahlenstrahl, in dem sich alle Zahlen befinden, die vom Grenzwert g weniger als abweichen, also zwischen g- und g+ befinden. |
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Danke HJKweseleit, für deine perfekte Antwort auf meine Fragen hin. Mit deiner Antwort ist auch die Definition eines Grenzwertes einer Zahlenfolge verständlich geworden. Deine Antwort werde ich auch beherzigen, wenn es darum geht, den Grenzwert einer Funktion zu finden, also wenn nach streben soll. Damit hast du meine Fragen einfach und verständlich beantworten können. Super, ich danke dir dafür. |
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de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Funktion) de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Grenzwert:_Konvergenz_und_Divergenz |
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Auch dir danke ich, KL700, für das Beisteuern wichtiger Infos. Mein Gott, mit dem Begriff "Grenzwert" kann man ja dicke Bücher füllen, das übersteigt allerdings noch mein Wissenshorizont. Da muß ich mich mal Stück für Stück dem wichtigen Thema "Grenzwert" zuwenden. Also, danke auch dir, KL700! |
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