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Differenz von Wurzeln Konvergenz und Grenzwert

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Folgen und Reihen, Grenzwert, Konvergenz, n-te Wurzel, reih, sandwichtheorem, Wurzeln

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bartekboy

bartekboy aktiv_icon

23:27 Uhr, 06.11.2014

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Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe, weiß nicht wie ich da weiter machen soll.
Aufgabenstellung: Untersuchen sie die Folgen mit

n e N

auf Konvergenz und geben Sie den Grenzwert an.
Folge:

{(n^{2} + n)}^{\frac{1}{n}} - {(n^{2})}^{\frac{1}{n}}

mit dem Hinweis: Sandwich-Theorem

Mein Ansatz bisher ist:

{(n^{2} + n)}^{\frac{1}{n}} - {(n)}^{\frac{1}{n}} \cdot {(n)}^{\frac{1}{n}}

Bekannt ist:

lim {(n)}^{\frac{1}{n}} = 1

{(n^{2} + n)}^{\frac{1}{n}} - 1

Wie es weiter geht, habe ich keine Idee bzw. wie ich den Sandwich-Satz einsetzen soll.

Hoffe ihr könnt mir helfen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
n-te Wurzel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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Antwort

anonymous

anonymous

23:42 Uhr, 06.11.2014

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Na ja, mit der selben Logik kannst du

lim_{n \to \infty} [{(n^{2} + n)}^{\frac{1}{n}} - {(n^{2})}^{\frac{1}{n}}]

= lim [n^{\frac{1}{n}} \cdot {(n + 1)}^{\frac{1}{n}} - n^{\frac{1}{n}} \cdot n^{\frac{1}{n}}]

= lim n^{\frac{1}{n}} \cdot lim {(n + 1)}^{\frac{1}{n}} - lim n^{\frac{1}{n}} \cdot lim n^{\frac{1}{n}}

bartekboy

bartekboy aktiv_icon

00:08 Uhr, 07.11.2014

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Also

1 \cdot lim {(n + 1)}^{\frac{1}{n}} - 1

und das

lim {(n + 1)}^{\frac{1}{n}}

dann abschätzen mit Sandwich-Theorem

lim {(n)}^{\frac{1}{n}} \leq lim {(n + 1)}^{\frac{1}{n}}

oder wie funktioniert der ich komm mit dem noch nicht ganz klar?

Antwort

Respon

00:25 Uhr, 07.11.2014

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Mögliches Sandwich:
Es gilt

0 < {(n^{2} + n)}^{\frac{1}{n}} - {(n^{2})}^{\frac{1}{n}}

{(n^{2} + n)}^{\frac{1}{n}} - {(n^{2})}^{\frac{1}{n}} < {(n^{2} + n^{2})}^{\frac{1}{n}} - {(n^{2})}^{\frac{1}{n}} = 2^{\frac{1}{n}} \cdot {(n^{2})}^{\frac{1}{n}} - {(n^{2})}^{\frac{1}{n}} = {(n^{2})}^{\frac{1}{n}} \cdot [2^{\frac{1}{n}} - 1] = n^{\frac{1}{n}} \cdot n^{\frac{1}{n}} \cdot [2^{\frac{1}{n}} - 1]

also

0 < {(n^{2} + n)}^{\frac{1}{n}} - {(n^{2})}^{\frac{1}{n}} < n^{\frac{1}{n}} \cdot n^{\frac{1}{n}} \cdot [2^{\frac{1}{n}} - 1]

lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}} \cdot n^{\frac{1}{n}} \cdot [2^{\frac{1}{n}} - 1] = 1 \cdot 1 \cdot [1 - 1] = 0

Frage beantwortet

bartekboy

bartekboy aktiv_icon

00:36 Uhr, 07.11.2014

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Danke für die Hilfe :-)

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