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Differenzierbarkeit Bestimmung der Ableitung

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, x->xo Methode

Runningqueen aktiv_icon

17:36 Uhr, 27.01.2014

Hallo Leute,
ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch bei einer Frage:
Gegeben sind die Funktionen: ich gebe jetzt mal nur eine an, vielleicht kann ich die nächsten dann selbst lösen

f :

x->x³-x² mit

x

€

R

a)

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion

f

an der Stelle xo mit Hilfe der Definition 6 durch eine Grenzwertberechnung mit der x->xo Methode.

So die Definition 6 besagt: f´(x0)=lim f(xo-f(xo)/

x - x 0

x->xo

ich habe jetzt ausgerechnet, dass ms ( die Tangentensteigung )

= 4

ist.
Und die erste Ableitung ist: f´(x)=3x²-2x ?

Kann mir hier einer sagen, ob das stimmen könnte oder ob ich voll daneben liege.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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prodomo aktiv_icon

17:46 Uhr, 27.01.2014

Deine Ableitung stimmt. Ob die 4 richtig ist, kann ich ohne

x_{0}

nicht überprüfen.

Gammler aktiv_icon

17:58 Uhr, 27.01.2014

Hallo,

da die Ableitung quadratisch ist, ist die Tangentensteigung schon mal nicht einheitlich.

Ich vermute du sollst schön den Grenzwert umformen und dann auf die Ableitung kommen. Bei

f (x) = x^{3} - x^{2}

kannst du schon mal die Ableitungen einzeln bilden. Ansonsten wird das mit dem Grenzwert etwas schwierig.

Also:

f' (x) = lim_{x_{0} \to x} \frac{f (x_{0}) - f (x)}{x_{0} - x},

Bei deiner Aufgabe würde ich aber eher die alternative Darstellung

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

benutzen.

Lg

aleph-math aktiv_icon

23:55 Uhr, 27.01.2014

Hallo!

Ist d. Ableitg

x^{3} - x^{2}

Ergeb. des Grenzwerts o. der Ableitg.regeln? Wie kommt d. 4 zustande?

4 kann nicht stimmen, denn 4 hat nur d. Teiler 1, 2, 4. Damit ergeben sich 3 Fälle:

4 = 3 x^{2} - 2 x = x (3 x - 2) \Rightarrow

x = 1 : 1 * (3 * 1 - 2) = 1 \neq 4;

x = 2 : 2 * (3 * 2 - 2) = 8 \neq 4;

x = 4 : 4 * (3 * 4 - 2) = 40 \neq 4;

Hoppla! Zu simpel gedacht! Ordnen führt ja auf quadr. Gl.:

3 x^{2} - 2 x - 4 = 0

;
mit d. Lösg:

x_{12} = 1, 535; 0, 867 .

D. Steig. 4 ist also doch existent, liegt aber an einer arg krummen Stelle; war die 4 Teil d. Aufg.?

Schöne Grüße!

Runningqueen aktiv_icon

17:39 Uhr, 28.01.2014

Hallo,

boh ich wollte hier mal die Grafik die ich gemacht habe einbringen, krieg das aber nicht hin. Also ich habe eine Sekante gezeichnet durch die Punkte

P (2 I 4)

und Po

(1 I

0).So habe ich auf der x-Achse im Punkt 2 mein

x

und auf Punkt 1 mein xo .
Dann wäre doch x-xo

\to 2 - 1 = 1

Und auf der y-Achse eine Senkrechte von Punkt

(2 I 4)

nach

P (2 I 0

).Das ist doch dann fx- fxo

\to 4 - 0 = 4

Also ist dann nicht ms

= 4

aleph-math aktiv_icon

04:41 Uhr, 29.01.2014

Morgen!
Sorry f.d. späte Antwort. Hab mich inzwi. mit and. Tücken herumgeschlagen.

Ok, m=4 ist d. Steigung d. Geraden durch P & P0, die stimmt allerd. nur in wenigen Pkt. (dort wo d. Sekante zur Tangente(!) wird, bei x=1,535 bzw. x=0,867) mit d. Ableitung im Intervall 1..2 überein. Diese soll aber f. alle Pkt gelten.
Vgl. d. Steig. zwi. 2..3:

m = f (3) - f (2) = 3^{3} - 3^{2} - (2^{3} - 2^{2}) = 18 - 4 = 14

, viel größer..

Für d. allgem. Grenzw. helfen besondere Pkt bei 1, 2, 3 o.and. nicht. Wie sehen denn d. eig. Versuche aus? Dem äquival. Vorschlag mit h->0 nach müßte es so sein:

f ʹ (x) = lim_{x \to x_{0}} \frac{Δ f (x)}{Δ x} = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^{3} + (x + h)^{2} - (x^{3} - x^{2})}{h} = . . .

Bitte selber weiter machen.. :-)

BTW, heißt d. Steigung bei euch "ms"? Wir sagten nur "m", ich kenn auch "t" o. "b", aber 2-stell. Variable sind ungewöhnl. D. Tangente hieße dann: y = ms*x + d.

viel Erfolg & alles Gute!

Runningqueen aktiv_icon

07:40 Uhr, 29.01.2014

Hallo,
danke schon mal für die Antwort. An der Gleichung habe ich gerade gebastelt, jetzt könnte es klappen. Melde mich wieder.
und das ms... ja das heisst

m

für Steigung und eine kleines Unter "s" für die Sekante.

aleph-math aktiv_icon

05:22 Uhr, 30.01.2014

Gu. Abend!

-> 7:40h.. Ganz schön früh! Das nenn ich fleissig, noch kurz vor d. Schule Mails etc. bearbeiten, brav.. :-)

-> ".. jetzt könnte es klappen."
Na, hat's geklappt? Gemeint ist doch d. Limes o. doch etwa d. Gerade an/durch d. Graph? Bzg lim ist mir eine kl. Unsauberk. unterlaufen; um d. Übergang v. x->x0 zu h->0 besser zu zeigen, sollte ich besser so schreiben:

f ʹ (x) = \frac{d f (x)}{d x} = lim_{x \to x_{0}} \frac{Δ f (x)}{Δ x} = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} =

= lim_{h \to 0} \frac{(x_{0} + h)^{3} + (x_{0} + h)^{2} - (x_{0}^{3} - x_{0}^{2})}{h} = . . .

Weiter: Binome ausmultipl., Ausdruck ordnen (einiges fällt weg!), dann kürzen u. schließl. Übergang h->0 ausführen; bleibt d. Ableitung übrig.

Ich glaube bzw fürchte, daß einige Begriffe & Zusammenhänge nicht klar sind, desh. hier eine hoff. verständl. Erklärung:
- d. 1.Bruch oben

\frac{d y}{d x},

auch

\frac{d}{d x} f (x)

geschrieben, heißt *Differenz_IAL-Quotient*, d. Teil

\frac{d}{d x}

*Differenzial-Operator*, ähnl. einer Fkt o. Abb., die auf d. Fkt f angewendet wird;

- d. 2.Bruch

\frac{Δ f (x)}{Δ x} = \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}

ist d. *Differenz_EN-Quotient*; wie beschrieben ist d. Diff.IAL-quot. d. Grenzwert d. Diff.EN-quot.;

- d. *Ableitg* einer Fkt an d. Stelle x0 ist d. *Steigung d. Tangente* an d. Fkt-Graph im Pkt (x0, f(x0)). D. Ableitg als Fkt gibt d. Tangentensteig. an einem belieb. Pkt d. Graphen an.
Zur Ermittlg dieser Ableitg als Fkt im ganzen Defin.bereich ist d. Sekante durch 2 bestimmte Pkt. ungeeignet. Ausg.pkt ist ein belieb. Pkt (im Def.bereich) u. eine (kleine) Umgebg d. Länge h um diesen Pkt. Als Nächstes bilden wir den durch d. Grenzen d. Intervalls h gegeb. Diff.EN-quot. Dieser ist auch d. Steigung

m_{s}

d. Sekante durch d. Eckpkt x0 & x0+h u. deren Fkt.werte. Wenn wir nun h immer kleiner machen (Grenzw. 0), wird d. Diff.ENquot. mehr & mehr zum Diff.IAL-quot., dh. Ableitg f'(x) u. d. Quot.-Sekante nähert sich immer mehr d. Tangente (Steig.

m_{t}

).

Danke; d. Bezeichn. ist jetzt klar, "s" ist also d. Index, dh.

m_{s}

, nur ist das mit Indices am PC so eine Sache. Damit läßt sich d. "Irrtum", besser Fehlinterpr., mit d. 4 veranschaulichen: d. Sekante in x0=1 hat tats.

m_{s} = 4 / 1 = 4

, d. Tangente hat allerd.

m_{t} = 3 (1)^{2} + 2 (1) = 1 = f ʹ (1)

.
Den Übergang v. Sekante zu Tangente schafft man allerd. mit fixen Zahlen wie 4 nicht, denn jede fixe Zahl bleibt fix, da gibt's keinen Grenzübergang.

Alles klar? Andernfalls bitte fragen..
Viel Erfolg!

PS: hab inzwi. Pause einlegen müssen u. nicht nach neuen Mitteil. gesehen. Möglich, dass ich überholt wurde; ggf. Sorry! -GA

Runningqueen aktiv_icon

14:12 Uhr, 01.02.2014

HAllo,

sorry für die späte Antwort, war 3 Tage im Kurzurlaub. Lustig, dass du denkst, ich gehe zur Schule. Nein, nein, ich bin schon ein etwas betagterer Schüler in den 40ern. Finde es aber total nett, dass du dich so ins Zeug legst. Danke.
Leider liegen mir diese Matheaufgaben wie ein Felsbrocken auf der Schulter. Ich hab leider echt keinen Plan, wie ich das bewerkstelligen soll. Meinst du, du kannst mir noch ein bisschen weiterhelfen ?
Also die Fragestellung heisst ja: Berechnen Sie die Ableitung der Funktion

g

an der Stelle xo mit Hilfe der h-Methode,

d

.h.für h->0Die Funktion heisst:

g :

x->x²+4x mit

x

€

R

Die Ableitung hab ich rausbekommen: g´(x)=2x+4
Jetzt brauche ich ja nur noch den Rest von:

lim

(xo+h)³+(xo+h)²-(xo³-xo²) = ???

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