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Differenzierbarkeit im Nullpunkt

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Differentiation

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Grenzwerte

Tags: Differentiation, Funktion, Grenzwert

Pascal2806 aktiv_icon

12:03 Uhr, 15.11.2018

Hey, ich habe mit folgender Aufgabe Probleme:

f (x) = \frac{x^{\frac{4}{5}}}{x^{4} + 4}

Zeigen Sie, dass

f

im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.

Mein Ansatz war folgender:

lim f (x) h \to 0^{-} \neq lim f (x) h \to 0^{+}

Dazu:

f (x) = \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{4}{5}}}{{(x + h)}^{4} + 4} - \frac{x^{\frac{4}{5}}}{x^{4} + 4}}{h}

Wenn ich jetzt 0 für

h

einsetzen würde, wäre es eine Division durch

0,

also habe ich versucht die Gleichung ein wenig umzustellen.

\frac{{(x + h)}^{\frac{4}{5}} \cdot (x^{4} + 4) - x^{\frac{4}{5}} \cdot ({(x + h)}^{4} + 4)}{h \cdot ({(x + h)}^{4}) \cdot (x^{4} + 4)}

Ab hier habe ich mehrmals versucht den Term umzustellen, allerdings wird es nur noch komplizierter.

Habt ihr Tipps für mich?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Einführung Funktionen
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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ledum aktiv_icon

12:36 Uhr, 15.11.2018

Hallo
bilde einfach die Ableitung der Funktion allgemein, begründe, dass sie überall stetig ist, aber für

x

gegen 0 nach

\infty

geht, bzw für

x = 0

nicht existiert.
Gruß ledum

Pascal2806 aktiv_icon

13:06 Uhr, 15.11.2018

Also die allgemeine Ableitung berechnen und dafür dann den Limes für

x \to 0

berechnen?
Und wenn dieser nicht existiert, ist die Ableitung in diesem Punkt nicht stetig und somit die Funktion in diesem Punkt auch nicht differenzierbar?
Heißt das also ich kann auf nicht differenzierbar in Punkt

x 0

schließen, wenn

f' (x)

in diesem Punkt nicht stetig ist?

DerDepp aktiv_icon

15:56 Uhr, 17.11.2018

Hossa :-)

f (x) = \frac{x^{4 / 5}}{x^{2} + 4}

Damit die Funktion an der Stelle

x = 0

differenzierbar ist, muss der rechtsseitige Limes des Differenzenquotienten gleich dem linksseitigen Limes sein:

\frac{f (0 + h) - f (0)}{h} = \frac{f (0 - h) - f (0)}{- h}; h \to 0^{+}

0^{+}

soll bedeuten, dass sich

h

vom positiven Bereich her der

0

nähert. Wegen

f (0) = 0

erhält man nach Multiplikation beider Seiten mit

h

f (h) = \frac{f (- h)}{- 1}

bzw.

f (- h) = - f (h); h \to 0^{+}

Allerdings gilt:

f (- h) = \frac{(- h)^{4 / 5}}{(- h)^{2} + 4} = \frac{\sqrt[5]{(- h)^{4}}}{h^{2} + 4} = \frac{\sqrt[5]{h^{4}}}{h^{2} + 4} = \frac{h^{4 / 5}}{h^{2} + 4} = f (h);

für

h > 0

Die Werte

f (- h)

haben das falsche Vorzeichen, das heißt

f (x)

kann bei

x = 0

nicht differenzierbar sein.

Roman-22

16:14 Uhr, 17.11.2018

Die Funktion ist doch wegen

x^{\frac{1}{5}}

im Reellen gar nicht definiert, weshalb kein linksseitiger Grenzwert existiert.
Der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten strebt gegen

+ \infty

DerDepp aktiv_icon

18:28 Uhr, 17.11.2018

@Roman-22

Meine erste Idee war auch, dass die Funktion nur für

x \geq 0

definiert ist und dann natürlich "am Rand" bei

x = 0

nicht differenzierbar ist, weil kein linksseitiger Grenzwert existieren kann. Dann war ich mir aber unsicher und habe Wikipedia gefragt:

de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)

Unter "Rationale Exponenten" steht, dass man

a^{m / n}

auch für negative

a

definieren kann, wenn

n

ungerade ist. Das trifft ja hier auf

(- x)^{4 / 5}

zu. Ganz wohl ist mir dabei nicht, und bei Wikipedia wird auch folgendes Beispiel angegeben, dass es dann zu Rechenfehlern mit der Bruchdarstellung kommen kann:

(- 2) = (- 8)^{1 / 3} = \sqrt[3]{- 8} = \sqrt[9]{(- 8)^{3}} \neq \sqrt[6]{(- 8)^{2}} = 2

Also richtig "rund" ist die Definition nicht. Aber wer weiß, wie das bei Pascal2806 im Unterricht definiert wurde...

Pascal2806 aktiv_icon

20:37 Uhr, 17.11.2018

@DerDepp Also dein Vorschlag sieht mir schon sehr unintuitiv aus und ich denke, dass unser Prof. das so nicht durchgehen lassen würde. Der Ansatz von @Roman22 und @ledum scheint mir da besser. Nur um das nochmal genau zu verstehen: wenn

f' (x)

im Punkt

x 0

eine Polstelle besitzt, kann ich also davon ausgehen, dass

f (x)

an der Stelle

x 0

nicht differenzierbar ist?

Roman-22

22:57 Uhr, 17.11.2018

Im Grunde geht es darum, die Sache auf jene Definition der Differenzierbarkeit zurückzuführen, die ihr in der Vorlesung hattet.
Wenn diese auf die Existenz des Grenzwerts des Differenzenquotienten abstellt, dann sollte es reichen, wenn du zeigst, dass dieser gegen

\infty

strebt und somit nicht existiert. Dabei sollte es auch unerheblich sein, ob ihr bei gebrochenen Hochzahlen negative Basen für zulässig erklärt habt oder nicht. Es reicht, wenn der rechtsseitige Grenzwert nicht existiert.

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