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Differenzierbarkeit und Steitigkeit

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Grenzwerte

Stetigkeit

Tags: Differentiation, Funktion, Grenzwert, Stetigkeit

FabianVu aktiv_icon

02:47 Uhr, 07.01.2016

Hey!

Ich hab folgende Aufgabe, bei der ich mich etwas schwer tuhe, was das Verständnis von Differenzierbarkeit, Stetigkeit, Grenzwerte und deren Zusammenhang angeht.

Also die Aufgabe:

Es sei

f : ℝ \to ℝ

definiert durch

f (x) = x^{2} \cdot sin (\frac{1}{x}),

wenn

x \neq 0

f (x) = 0,

wenn

x = 0

Teilaufgabe

a)

Zeigen sie, dass

f

differenzierbar ist.

Das habe ich mit folgendem Ansatz gelöst:

lim_{x \to 0, x > 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0}

und

lim_{x \to 0, x < 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0}

jeweils berechnen.

Bei beiden kam dann jeweils raus, dass der Grenzwert existiert und dieser 0 beträgt, woraus ich dann geschlossen habe, dass

f

differenzierbar ist, weil die rechtsseitige Ableitung gleich der linksseitigen Ableitung an der Stelle

x = 0

ist.

Und dass

f (x)

für jedes

x \in ℝ

{

0} differenzierbar ist, folgt daraus, dass

x^{2}

auf

ℝ

differenzierbar ist, ebenso

sin (x),

aber

\frac{1}{x}

eben in

ℝ

ohne 0 differenzierbar ist.

Soweit so gut. Damit wäre Teilaufgabe

a)

gelöst.

Nun zu Teilaufgabe

b)

Zeigen sie, dass

f' \in 0

unstetig ist.

Hier wäre das Problem:

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}

ist ja gleich

f' (x 0)

.

Hieße für mich jetzt im Umkehrschluss, dass

f' (x)

stetig ist, da der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle 1 gleich dem linksseitigen Grenzwert an der Stelle 1 gleich 0 ist. Da wir ja das Gegenteil beweisen sollen, vermute ich mal, dass in dieser Aussage irgendwo ein Denkfehler liegt.

Eine andere Möglichkeit wäre die Ableitung durch Produkt-und Kettenregel konkret zu bilden. Dies wäre:

f' (x) = - cos (\frac{1}{x}) + sin (\frac{1}{x}) \cdot 2 x

Auch hier prüfe ich, dass der rechtsseitige Grenzwert gleich dem linksseitigen Grenzwert ist. In diesem Falle würde ich mal vermuten, dass der Grenzwert nicht exisitiert, da

sin (\frac{1}{x}) \cdot 2 x

für

x \to 0

gleich 0 ist, weil die in

2 x

eingesetzt wird. Jedoch kann man schwer bestimmen, was der Grenzwert von

- cos (\infty)

ist.
Hier wäre der Grenzwert nicht existent und dementsprechend unstetig.

Nun zu den Überlegungen:

"lim_(x->0)

\frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}

ist ja gleich f'(x0)."
"f'(x)

= - cos (\frac{1}{x}) + sin (\frac{1}{x})

*2x"

ist im Endeffekt zwei mal die Ableitung anders geschrieben, führt aber zu verschiedenen Ergebnissen.

Könntet mir da jemand diesbezüglich aufklären?

Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
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