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Doppelreihe

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Folgen und Reihen

Tags: Analysis, Beweis, Doppelreihensatz, Großer Umordnungssatz, Reihen, Umordnung

TheDuke1985 aktiv_icon

18:57 Uhr, 30.11.2008

Hallo, ich habe eine Frage.

Und zwar soll ich zeigen, dass

$\sum_{k = 2}^{\infty} \sum_{l = 2}^{\infty} \frac{1}{k^{l}} = \sum_{l = 2}^{\infty} \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k^{l}} = 1 (1)$

Für die linke Seite ist das ziemlich einfach:

Für ein festes k>=2 gilt:

$\sum_{l = 2}^{\infty} \frac{1}{k^{l}} = \frac{1}{k^{2}} \frac{1}{1 - \frac{1}{k}} = \frac{1}{k^{2} - k} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k} \Rightarrow \sum_{k = 2}^{\infty} \sum_{l = 2}^{\infty} \frac{1}{k^{l}} = \sum_{k = 2}^{\infty} (\frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}) = 1$

Aber für die rechte Seite bekomme ich es einfach nicht hin =(

Ich muss das ganze zeigen, ohne den Doppelreihensatz bzw. den großen Umordnungssatz zu benutzen, mit dem das ganze ja ziemlich einfach wäre. Ich muss es halt explizit ausrechnen.

Für die zweite Seite habe ich zwar einen gerechneten Beweis, aber diesen verstehe ich überhaupt nicht.

Beweis:

In der tat gillt für feste m,n $\in$ IN stets

$\sum_{l = 2}^{m} \sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{k^{l}} = \sum_{k = 2}^{n} \sum_{l = 2}^{m} \frac{1}{k^{l}} \leq 1$ .

Mit $n \to \infty$ und dann $m \to \infty$ folgt also auch

$\sum_{l = 2}^{\infty} \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k^{l}} = : s \leq 1$

Genauso ergibt sich auch $1 \leq s$ , und (1) ist bewiesen.

Ich habe auch noch eine Hilfe vom Prof bekommen, aber mit der bin ich genauso hilflos =/

Hier der Tip:

$\sum_{k = 2}^{\infty} \sum_{l = 2}^{\infty} \frac{1}{k^{l}} = 1 \Rightarrow \sum_{k = 2}^{m} \sum_{l = 2}^{n} \frac{1}{k^{l}} = \sum_{l = 2}^{n} \sum_{k = 2}^{m} \frac{1}{k^{l}} \leq \sum_{k = 2}^{n} \sum_{l}^{\infty} \frac{1}{k^{l}} \leq \sum_{k}^{\infty} \sum_{l}^{\infty} \frac{1}{k^{l}} = 1$

$\Rightarrow \sum_{l = 2}^{\infty} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{l}} = s_{e x}$

(da monoton wachsend und beschränkt)

$s \geq \sum_{l = 2}^{m} \sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{k^{l}} = \sum_{k = 2}^{n} \sum_{l = 2}^{m} \frac{1}{k^{l}} \Rightarrow s \geq \sum_{k}^{\infty} \sum_{l}^{\infty} \frac{1}{k^{l}}$

Falls mir der Prof schon den kompletten Beweis aufgeschrieben hat würde ich euch bitten mir den nochmal in einfachen Worten zu erklären.

Ich hoffe, dass ihr mir da weiterhelfen könnt! Wäre echt wichtig und dringend.

Gruß,

Nico

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