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Dreiecksungleichung-Norm

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, inneres Produkt

bunny-mathe1 aktiv_icon

20:54 Uhr, 26.10.2011

Dreiecksungleichung lautet:

| | x + y | | \leq | | x | | + | | y | |

\forall x, y

element

R^{2}

Das ist zu beweisen!
da

| | x | | := \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}

und ich muss auch alles quadrieren oder, dass die wurzel weg ist?aber wenn ich quadriere verschwindet doch einfach die wurzel wieso muss ich dann nochmals quadrieren?

< x + y, x + y > = < x, x > + < y, y > + 2 < x, y >

< x, x > + < y, y > + 2 < x, y > \leq < x, x > + < y, y > + 2 | < x, y > |

ja man quadriert auch die rechte Seite. Aber warum plötzlich ein Betragszeichen?

Ich verstehe schon den anfang nicht

; (

Überall wo

x

oder

y

steht gehört natürlich ein vektorstrich

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

21:56 Uhr, 26.10.2011

Hallo,

kannst du mal präziser werden? Worum geht es genau? Soll das eine Übunsaufgabe werden? Hast du eine Frage zu einem Beweis?

Mfg Michael

bunny-mathe1 aktiv_icon

22:09 Uhr, 26.10.2011

Ja, wir haben den beweis in der vorlesung gemacht..
Aber ich verstehe ihn gar nicht.

michaL aktiv_icon

22:29 Uhr, 26.10.2011

Hallo,

die erste Zeile, die ich bei dir lese, ist die (semantisch unsinnige) Ungleichungskette

∣ ∣ x + y ∣ ∣ \leq ∣ ∣ x ∣ ∣ y ∣ ∣ <

.

Kannst du das irgendwie überarbeiten? Bin zu müde zu raten, was das sein soll.

Mfg Michael

bunny-mathe1 aktiv_icon

22:51 Uhr, 26.10.2011

Srylein,
Dreiecksungleichung lautet:

| | x + y | | \leq | | x | | + | | y | |

\forall x, y

element

R^{2}

michaL aktiv_icon

23:39 Uhr, 26.10.2011

Hallo,

Standard:

∣ ∣ \vec{x} ∣ ∣ = \sqrt{〈 \vec{x}, \vec{x} 〉}

ist Voraussetzung.

∣ ∣ \vec{x} + \vec{y} ∣ ∣ = \sqrt{〈 \vec{x} + \vec{y}, \vec{x} + \vec{y} 〉}

∣ ∣ \vec{x} ∣ ∣ + ∣ ∣ \vec{y} ∣ ∣ = \sqrt{〈 \vec{x}, \vec{x} 〉} + \sqrt{〈 \vec{y}, \vec{y} 〉}

Also:

∣ ∣ \vec{x} + \vec{y} ∣ ∣ \leq ∣ ∣ \vec{x} ∣ ∣ + ∣ ∣ \vec{y} ∣ ∣

\overset{}{\Leftrightarrow} \sqrt{〈 \vec{x} + \vec{y}, \vec{x} + \vec{y} 〉} \leq \sqrt{〈 \vec{x}, \vec{x} 〉} + \sqrt{〈 \vec{y}, \vec{y} 〉}

\overset{}{\Leftrightarrow} 〈 \vec{x} + \vec{y}, \vec{x} + \vec{y} 〉 \leq 〈 \vec{x}, \vec{x} 〉 + 〈 \vec{y}, \vec{y} 〉 + 2 \sqrt{〈 \vec{x}, \vec{x} 〉} \cdot \sqrt{〈 \vec{y}, \vec{y} 〉}

\overset{}{\Leftrightarrow} 〈 \vec{x}, \vec{x} 〉 + 〈 \vec{y}, \vec{y} 〉 + 2 〈 \vec{x}, \vec{y} 〉 \leq 〈 \vec{x}, \vec{x} 〉 + 〈 \vec{y}, \vec{y} 〉 + 2 \sqrt{〈 \vec{x}, \vec{x} 〉} \cdot \sqrt{〈 \vec{y}, \vec{y} 〉}

\overset{}{\Leftrightarrow} 〈 \vec{x}, \vec{y} 〉 \leq \sqrt{〈 \vec{x}, \vec{x} 〉} \cdot \sqrt{〈 \vec{y}, \vec{y} 〉}

\overset{}{\Leftrightarrow} \frac{〈 \vec{x}, \vec{y} 〉}{\sqrt{〈 \vec{x}, \vec{x} 〉} \cdot \sqrt{〈 \vec{y}, \vec{y} 〉}} \leq 1

Die letzte Ungleichung ist tatsächlich erfüllt. Erkennst du die linke Seite wieder?

Mfg Michael

bunny-mathe1 aktiv_icon

00:34 Uhr, 27.10.2011

alles verstanden
bis auf den letzten schritt

wieso auf der rechten seite eine 1? nicht eine 0?

Und ganz verstanden hab ich nicht, warum wir es jetzt bewiesen haben mit den unteren term.

michaL aktiv_icon

13:00 Uhr, 27.10.2011

Hallo,

na, nun aber!

Schau noch mal genau hin, ich TEILE, ich subtrahiere nicht.
Es ist von der Form

a \leq b \overset{}{\Leftrightarrow} \frac{a}{b} \leq 1

wegen

b > 0

. Den Fall

b = 0

müsstest du übrigens dabei gesondert ins Auge fassen.

Mfg Michael

bunny-mathe1 aktiv_icon

20:56 Uhr, 27.10.2011

Ah, aber warum wir bzw. besser du- es jetzt bewiesen hast weiß ich noch immer nicht.

Kollegen meinten die CS-Ungleichung wird angewandt Die würde ja vor deinen letzten Schritt stehen. kannst du das unterschreiben?^^

michaL aktiv_icon

22:23 Uhr, 27.10.2011

Hallo,

ich hatte daran gedacht, die Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren anzuwenden:

\cos (∠ (\vec{x}, \vec{y})) = \frac{〈 \vec{x}, \vec{y} 〉}{\sqrt{〈 \vec{x}, \vec{x} 〉} \cdot \sqrt{〈 \vec{y}, \vec{y} 〉}} \leq 1

sollte doch klar sein, oder?

Mfg Michael

bunny-mathe1 aktiv_icon

22:28 Uhr, 27.10.2011

Und mit der CS-Ungleichung kann ich es aber auch machen? Weil dann versteh ich es viel besser!!

michaL aktiv_icon

22:32 Uhr, 27.10.2011

Hallo,

ja, Cauchy-Schwarz geht auch. Wenn das "besser" zu verstehen ist...

Mfg Michael

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