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Dreieckszahlen, die Summe von Dreiecksz. sind

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Beweis, Dreieckszahl, Paar

 
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xrg2000

xrg2000 aktiv_icon

10:55 Uhr, 27.05.2020

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Hallo erstmal ihr alle

Ich soll für eine Aufgabe beweisen, dass es unendlich viele Paare von Dreieckszahlen (Bsp: t2=1+2) gibt, deren Summe wieder eine Dreieckszahl ist. Das heisst: Es soll bewiesen werden, dass es unendlich viele Paare (tn,tk) gibt, die folgende Gleichung erfüllen:

tn+tk=tm

Der Lösungsansatz ist dabei simpel: tk soll frei gewählt werden können, und n soll dann so gewählt werden, dass tn+tk die Summe der ersten m natürlichen Zahlen ist, dabei ist der letzte Summand dann tk das heisst:

1+2+3+...+(tk-2)+(tk-1)+tk=ttk-1
n ist also: n=tk-1

daraus folgt: ttk-1+tk=ttk

Nur: Wie kann ich jetzt beweisen, dass es unendlich solcher Paare gibt, muss ich das überhaupt? Wenn ja, was wäre der Anfang der vollst. Induktion?

Vielen Dank fürs Weiterhelfen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Online-Nachhilfe in Mathematik
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HAL9000

HAL9000

11:10 Uhr, 27.05.2020

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Du musst "nur" unendlich viele Lösungen angeben, nicht alle - das ist im vorliegenden Fall ein himmelweiter Unterschied...

Es ist tn=n(n+1)2. Angenommen, es existiert zu festem n ein Tripel (tn,tk,tm) mit tn+tk=tm, so dass k=m-1 ist. Dann folgt

tm-tk=tm-tm-1=m(m+1)-(m-1)m2=m.

Daher wählen wir einfach m=tn, d.h., m=n(n+1)2. D.h., wir haben zu jeder natürlichen Zahl n ein passendes Tripel (tn,tk,tm)=(tn,tn2+n-22,tn2+n2) gefunden! Damit auch k,m positiv sind, sollten wir allerdings nur n2 (d.h. nicht n=1) betrachten.
Frage beantwortet
xrg2000

xrg2000 aktiv_icon

11:19 Uhr, 27.05.2020

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Wow, danke, jetzt ist alles klar - das ging fix!
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HAL9000

HAL9000

11:22 Uhr, 27.05.2020

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Ja: Wenn nicht nach allen Lösungen, sondern nur einigen gefragt ist, dann kann man einfach auch mal ins blaue hinein mit einem Ansatz was probieren. Und wenn der erste nicht klappt, dann etwas variieren... Hauptsache nicht gleich aufgeben.