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Hallo erstmal ihr alle
Ich soll für eine Aufgabe beweisen, dass es unendlich viele Paare von Dreieckszahlen (Bsp: gibt, deren Summe wieder eine Dreieckszahl ist. Das heisst: Es soll bewiesen werden, dass es unendlich viele Paare gibt, die folgende Gleichung erfüllen:
Der Lösungsansatz ist dabei simpel: soll frei gewählt werden können, und soll dann so gewählt werden, dass die Summe der ersten natürlichen Zahlen ist, dabei ist der letzte Summand dann das heisst:
ist also:
daraus folgt:
Nur: Wie kann ich jetzt beweisen, dass es unendlich solcher Paare gibt, muss ich das überhaupt? Wenn ja, was wäre der Anfang der vollst. Induktion?
Vielen Dank fürs Weiterhelfen
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Du musst "nur" unendlich viele Lösungen angeben, nicht alle - das ist im vorliegenden Fall ein himmelweiter Unterschied...
Es ist . Angenommen, es existiert zu festem ein Tripel mit , so dass ist. Dann folgt
.
Daher wählen wir einfach , d.h., . D.h., wir haben zu jeder natürlichen Zahl ein passendes Tripel gefunden! Damit auch positiv sind, sollten wir allerdings nur (d.h. nicht ) betrachten.
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Wow, danke, jetzt ist alles klar - das ging fix!
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Ja: Wenn nicht nach allen Lösungen, sondern nur einigen gefragt ist, dann kann man einfach auch mal ins blaue hinein mit einem Ansatz was probieren. Und wenn der erste nicht klappt, dann etwas variieren... Hauptsache nicht gleich aufgeben.
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