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Ebene im dreidimensionalen Raum, Schnittgerade

Universität / Fachhochschule

Tags: dreidimensional, eben, Schnittgerade, Vektor, Winkel, xy-ebene

Thearchitect aktiv_icon

14:04 Uhr, 16.02.2016

Hallo, und zwar verzweifle ich gerade bei folgender Aufgabe:

Eine Ebene in

R^{3}

ist gegeben durch die Punkte

A = (1; 2; 3) B = (3; 4; 5)

und

C = (5; 5; 5)

gegeben.

a)

Bestimmen Sie die Schnittgerade dieser Ebenen mit der x-y-Ebene!

b)

Welchen Winkel bilden die beiden Ebenen miteinander?

Ich weiß nicht wie ich eine Schnittgerade mit den mir gegebenen Werten finden soll...

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

funke_61 aktiv_icon

14:08 Uhr, 16.02.2016

Hallo,
aus den drei Punkten kannst Du die Ebenengleichung in Parameterform aufstellen.
weisst Du, wie das geht?

Thearchitect aktiv_icon

14:17 Uhr, 16.02.2016

So, die Parameterform habe ich aufgestellt.

E : (1,2,3) + r \cdot (2,2,2) + s \cdot (4,3,2)

Müsste eigentlich richtig sein, wenn nicht bitte ich um Korrektur :-D) So, ich habe zwar nun die Parameterform, jedoch weiß ich nicht wie ich mit der

x

,y-Ebene umgehen soll und mit ihr eine Schnittgerade bestimmen kann.

funke_61 aktiv_icon

14:24 Uhr, 16.02.2016

Deine Parameterform ist ok,
Kennst Du die Gleichung der x-y-Ebene ?

Thearchitect aktiv_icon

14:29 Uhr, 16.02.2016

Nein die kenne ich nicht, aber wäre es nicht einfach

E : (0,0,0) + r \cdot (1,0,0) + s \cdot (0,1,0)

funke_61 aktiv_icon

14:39 Uhr, 16.02.2016

Ist fast ok, aber Vorsicht! Du musst andere Parameter zB.

t

und

u

verwenden.
(Aber eigentlich beschreibt die "einfache Gleichung"

z = 0

auch die x-y-Ebene :-)
Gleichsetzen und Auswerten sollte die Schnittgerade liefern.

Thearchitect aktiv_icon

14:41 Uhr, 16.02.2016

Danke! Ich probiere das ganze mal aus und berichte dann :-)

funke_61 aktiv_icon

15:28 Uhr, 16.02.2016

Zur Kontrolle:
Wenn Du Deine Ebenengleichung in Parameterform

\vec{x} = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})

mit der Ebene

z = 0

schneidest,
ergibt sich das Gleichungssystem

x = 1 + 2 r + 4 s

y = 2 + 2 r + 3 s

0 = 3 + 2 r + 2 s

Die Auswertung dieses Gleichungssystems ergibt als
Schnittgerade in der x-y-Ebene
die Ursprungsgerade

- x + 2 y = 0

;-)

Thearchitect aktiv_icon

16:30 Uhr, 16.02.2016

Ja danke, hab das soweit richtig! und

- x + 2 y = 0

ist somit die Schnittgerade zwischen meiner Ebene und der x-y-Ebene? Ist Aufgabe

a)

somit vollständig gelöst?

funke_61 aktiv_icon

16:42 Uhr, 16.02.2016

Wenn Du die Gleichung der Schnittgerade als

- x + 2 y = 0

angibst, musst Du dazuschreiben, dass diese Gleichung in der
Ebene

z = 0

(also in der x-y-Ebene)
liegt.
Dann ist Aufgabenteil

a)

korrekt beantwortet.

Alternativ wäre die Angabe der Schnittgerade in Parameterform zB. als

\vec{x} = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

eine korrekte Lösung für Aufgabenteil

a)

denn diese Form ist im

R^{3}

"automatisch" eine Geradengelichung.

(Die Gleichung

- x + 2 y = 0

wäre im

R^{3}

nämlich eigentlich eine Ebenengleichung.
Diese Ebene wäre parallel zur z-Achse)
Klar warum?

Thearchitect aktiv_icon

19:11 Uhr, 16.02.2016

Bis hierhin erstmal ein großes Dankeschön, konnte es nachvollziehen und habs echt verstanden :-) Bei Aufgabe

b)

komm ich aber nicht so wirklich weiter, hab zwar im Internet schon recherchiert aber auch nichts richtiges gefunden..

Stephan4

19:24 Uhr, 16.02.2016

Dann recherchiere mal da:

de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Analytische_Geometrie#Winkel_2

Die Normalvektoren der Ebenen brauchst Du noch.

Der Normalvektor ist das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren, die ja gegeben sind.

Ein senkrecht stehender Pfeil ist ein Normalvektor der x-y-Ebene.

:-)

Thearchitect aktiv_icon

19:42 Uhr, 16.02.2016

Also wäre der Normalvektor für die Ebene das Kreuzprodukt aus

(2,2,2)

und

(4,3,2)

? Und der Normalvektor von der x-y-Ebene demzufolge das Kreuzprodukt aus

(1,0,0)

und

(0,1,0)

funke_61 aktiv_icon

21:11 Uhr, 16.02.2016

Ja und ja.
:-)

abakus

21:16 Uhr, 16.02.2016

Ja, aber ...

Es wäre recht hirnlos, zur Bestimmung eines Normalenvektors der x-y-Ebene erst das Kreuzprodukt zu bemühen.
Ohne jede Rechnung lässt sich ein ganz simpler Vektor angeben, der auf der x-y-Ebene senkrecht steht.

Thearchitect aktiv_icon

22:09 Uhr, 16.02.2016

So, vielen Dank, hab jetzt für den Winkel genau 135° raus, das sieht mir nach einem richtigen Ergebnis aus :-)

funke_61 aktiv_icon

08:27 Uhr, 17.02.2016

Der zwischen den beiden Ebenen gesuchte "kleinere" Winkel sollte sich aber aus

cos α = \frac{| (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ - 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) |}{\sqrt{{(- 2)}^{2} + 4^{2} + {(- 2)}^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \frac{| - 2 |}{\sqrt{24} \cdot \sqrt{1}} = \frac{2}{2 \sqrt{6} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{6}}

errechnen.
Das gibt bei mir

α \approx 65,9

°

Wenn man die (hier zufällige) Richtung der Normalenvektoren mit berücksichtigen würde, ergäbe sich der "grössere" Winkel aus der Definition des Skalarproduktes

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot cos α

mit

α

als Winkel zwischen den Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

cos α = \frac{(\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ - 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}{\sqrt{{(- 2)}^{2} + 4^{2} + {(- 2)}^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \frac{- 2}{2 \sqrt{6}}

als

α \approx 114,1

°

Siehe auch:

http//www.schule-bw.de/unterricht/faecher/mathematik/3material/sek2/linalg/ebenen/winkel_ebene_ebene.pdf

;-)

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