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Einfache Mengenbeweise

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Tags: Beweis, Gruppen, Menge, Mengenlehre

pflaume9

18:58 Uhr, 08.04.2019

Zwei Mengenaufgaben, zu denen ich von euch gerne kurzes Feedback hätte, ob sie denn so richtig gelöst worden sind :-)

1. Zz:

M_{1} \subseteq M_{2} \Leftrightarrow M_{1} \cup M_{2} = M_{2} \Leftrightarrow M_{1} \cap M_{2} = M_{1}

M_{1} \subseteq M_{2}

\Leftrightarrow \forall x \in M_{1} : x \in M_{2}

\Leftrightarrow \forall x \in M_{1} \cup M_{2} : x \in M_{2} \land \forall x \in M_{2} : x \in M_{1} \cup M_{2}

\Leftrightarrow M_{1} \cup M_{2} \subseteq M_{2} \land M_{2} \subseteq M_{1} \cup M_{2}

\Leftrightarrow M_{1} \cup M_{2} = M_{2}

\Leftrightarrow \forall x \in M_{1} \cup M_{2} : x \in M_{2} \land \forall x \in M_{2} : x \in M_{1} \cup M_{2}

\Leftrightarrow \forall x \in M_{1} \cap M_{2} : x \in M_{1} \land \forall x \in M_{1} : x \in M_{1} \cap M_{2}

\Leftrightarrow M_{1} \cap M_{2} \subseteq M_{1} \land M_{1} \subseteq M_{1} \cap M_{2}

\Leftrightarrow M_{1} \cap M_{2} = M_{1}

2. Sei

F

eine Menge von Mengen mit

⋂_{M \in F} M = \emptyset

. Gibt es immer mindestens 2 Mengen

M_{1}, M_{2}

mit

M_{1} \cap M_{2} = \emptyset

?

Wenn ich es richtig verstanden habe, besteht

F

nur aus Mengen, die zueinander disjunkt sind. Wenn

M_{1} \neq M_{2},

dann wäre ein Gegenbeispiel

M_{1} = M_{2} = \emptyset,

oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

19:06 Uhr, 08.04.2019

Hallo,

statt der Äquivalenzen kannst du einen so genannten Ringschluss versuchen:

M_{1} \subseteq M_{2} \Rightarrow M_{1} \cup M_{2} = M_{2} \Rightarrow M_{1} \cap M_{2} = M_{1} \Rightarrow M_{1} \subseteq M_{2}

Vielleicht geht das einfacher?! (Ich befürchte, dein Beweis ist formal nicht korrekt.)

Zur zweiten Frage: Da reicht ein Gegenbeispiel:

M_{1} := {2, 3}

M_{2} := {1, 3}

M_{3} := {1, 2}

.
Rechne nach, dass

M_{1} \cap M_{2} \cap M_{3} = \emptyset

gilt.

Mfg Michael

pflaume9

19:20 Uhr, 08.04.2019

zu 1.
Was genau stört dich noch an meinem Beweis? (Außer dass er kein Ringschluss ist.) Fehlen mir noch ein paar Zwischenschritte?

zu 2.
Die Aufgabe verlangt, dass es mindestens 2 (also auch 3 oder mehr) Mengen gibt, sodass die Behauptung gilt.

M_{1} \cap M_{2} \cap

…

\cap M_{n} = \emptyset

wäre dann doch kein Problem, oder? Oder versteh ich irgendwas falsch?

michaL aktiv_icon

19:41 Uhr, 08.04.2019

Hallo,

ich verstehe deinen Beweis schlicht nicht. Wie hast du die erste Äquivalenz denn nun bewiesen?
Ich halte deine Beweisführung für formal ungeeignet. Vielleicht habe ich mir das aber auch nicht intensiv genug angeschaut.

> Oder versteh ich irgendwas falsch?
Nein. Ich habe dir ein Gegenbeispiel geliefert!

Mfg Michael

pflaume9

20:10 Uhr, 08.04.2019

Ich hab mir im Skript jeweils die Definitionen für die linke und rechte Seite angeschaut und dann zusammengeführt. Also, für die erste Äquivalenz bspw.:

A \subseteq B \Leftrightarrow \forall x \in A

gilt

x \in B

und

A = B \Leftrightarrow \forall x (x \in A \Leftrightarrow x \in B) \Leftrightarrow A \subseteq B \land B \subseteq A

Ist der Ansatz denn überhaupt richtig? Wenn nein, wie würdest du die Aufgabe angehen?

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