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Einheitskreis

Schüler

Tags: ArcCos, arcsin, Einheitskreis, Winkel

clara aktiv_icon

13:46 Uhr, 22.01.2011

Hallo!

Ich soll Gleichungen der Art arcCos(-1/2) lösen, ohne Taschenrechner.
Leider verstehe ich noch nicht ganz, wie ich dabei vorgehen muss.

Zuerst forme ich die Gleichung so um:

(- \frac{1}{2}) = cos (x)

Dann muss ich auf dem Einheitskreis einen Punkt suchen, für den der Cosinus

(\frac{1}{2})

ist.
ich zeichne also auf der x-Achse im II.Quartal

0,5

ein und ziehe eine senkrechte Linie nach oben. Dort wo diese Linie jetzt den Kreis schneidet, ist meine Lösung.
Laut TR

\frac{2 \cdot π}{3}

. Wie komme ich aber darauf, dass sich dort GENAU

\frac{2 \cdot π}{3}

befinden? Ich meine, ich könnte die Länge des Kreisabschnitts schätzen, aber kann man das auch berechnen?

Wäre froh, wenn mir das jemand erklären könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Winkel - Einführung
Winkelberechnungen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

artiiK aktiv_icon

16:01 Uhr, 22.01.2011

zunächst einmal heißt es nicht 2. quartal ( was kirchenjahr bedeutet

\land)

sondern quadrant.
so. der cosinus soll die länge

- \frac{1}{2}

haben. Das heißt, du konstruierst die mittelsenkrechte zwischen dem punkt

(0; - 1)

und

(0; 0)

. wo diese die x-achse. dort wo diese mittelsenkrechte den einheitskries im II. Quadranten schneidet, hast du das "ende des kriesbogens. also er verläuft von

(0; 1)

bis dorthin eben.
ich wüsste jetzt auf anhieb nicht wie du die länge dieses bogens

b

nun ohne zuhilfenahme der formel:

b = \int \sqrt{1 + f' {(x)}^{2}} d x (

g

- 0.5,

unt.

g

1)

ermitteln könntest.
abgeleitet ergbit die ( obere ) kreisfunktion:

\frac{1}{2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}} \cdot (- 2 x) = - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

quadriert ergibt das:

\frac{x^{2}}{1 - x^{2}}

das noch plus 1. Damit erhält man

\frac{1}{1 - x^{2}}

Die Partialbruchzerlegung liefert glaube ich folgenden term:

\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{1 + x} + \frac{1}{1 - x})

also haben wir folgende stammfunktion:

F = \frac{1}{2} \cdot (ln (1 + x) + ln (1 - x)) = \frac{1}{2} \cdot ln (1 - x^{2})

und ich sehe schon ich habe mich iwo verrechnet xDD

. .

. obere grenze minus untere grenze eingetzt ergibt nämlich

\frac{1}{2} \cdot (ln (0.75) - ln (0))

??? blöd... das geht gegen unendlich.. naja sorry xDD aber so oder so ähnlich müsste man darauf kommen.

clara aktiv_icon

17:09 Uhr, 22.01.2011

okay...danke! irgendwie müsste es aber auch einfacher gehen, ohne diese formel...naja, vielleicht reicht es ja auch, es ungefähr abzuschätzen.

Danke trotzdem :-)

und ein quartal ist kein kirchenjahr, sondern wird generell als bezeichnung für ein viertel Jahr verwendet...also wenn schon, dann ein viertel Kirchenjahr :-) Aber natürlich heißt es im Koordinatensystem dann trotzdem Quadrant^^

lg

artiiK aktiv_icon

14:42 Uhr, 23.01.2011

Ein Kirchenjahr ist ein Viertel Jahr...^^.. deswegen heißt es auch nicht Jahr

artiiK aktiv_icon

14:55 Uhr, 23.01.2011

übrigens habe ich die stammfunktion falsch gebildet es müsste

\frac{1}{2} ln (\frac{x + 1}{x - 1})

heißen.. zur beruhigung... is natülich trotzdem falsch xD

clara aktiv_icon

15:54 Uhr, 25.01.2011

okay ;-)

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