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Einheitsvektoren bestimmen

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Vektorräume

Tags: Einheitsvektor, Vektor, Winkel

Bella-Bimba aktiv_icon

18:58 Uhr, 05.12.2020

Guten Abend allerseits,
zunächst einmal meine Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie die beiden Einheitsvektoren

u, v \in ℝ^{3},

die sowohl mit

e_{1}

den Winkel

\frac{π}{3}

als auch mit

e_{3}

den Winkel

\frac{π}{4}

einschließen.

Wie kann ich hier starten?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

19:04 Uhr, 05.12.2020

.
"Wie kann ich hier starten?"

Vorschlag:
schreib doch schon mal die vier Skalarprodukte auf

.

N8eule

19:10 Uhr, 05.12.2020

Hallo
Die Vektoren

e_{1}

und

e_{3}

hast du ja offensichtlich noch nicht verraten.

Welche Beziehung für den Winkel zwischen Vektoren kennst du denn?
Spielt da vielleicht der cosinus des Winkels eine Rolle?
Falls ja:
was ist denn der

cos (\frac{π}{3})

?
was ist denn der

cos (\frac{π}{4})

Bella-Bimba aktiv_icon

19:17 Uhr, 05.12.2020

cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

cos (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}

e_{1}

und

e_{3}

sind nach Definition die Einheitsvektoren, also:

e_{1} = (1,0,0)

und

e_{3} = (0,0,1)

rundblick aktiv_icon

19:35 Uhr, 05.12.2020

.
"e1=(1,0,0) und e3=(0,0,1)"
ok

und

\vec{u} = (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix}) . .

. und

\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})

mit

| \vec{u} | = 1 . .

. und

| \vec{v} | = 1

warum denkst du nicht über meinen Vorschlag nach ?

..

Bella-Bimba aktiv_icon

19:57 Uhr, 05.12.2020

Nach Definition ist

cos α = \frac{< u, v >}{| u | \cdot | v |} = \frac{< e_{1}, u >}{| e_{1} | \cdot | u |} = \frac{< e_{1}, u >}{1 \cdot 1} = < e_{1}, u >

< e_{1}, u > = 1 \cdot u_{1} + 0 \cdot u_{2} + 0 \cdot u_{3} = u_{1}

und dann gilt auch

< e_{3}, v > = 0 \cdot u_{1} + 0 \cdot u_{2} + 1 \cdot u_{3} = u_{3}

rundblick aktiv_icon

20:08 Uhr, 05.12.2020

.

ja, also

\to

< \vec{e_{1}}, \vec{u} > = u_{1} = | {\vec{e}}_{1} | \cdot | \vec{u} | \cdot cos (\frac{π}{3}) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} ...

\Rightarrow u_{1} = \frac{1}{2}

mach jetzt selbst weiter

: u_{3} =

, v_{1} =

? .

v_{3} =

. .

. usw

. .

. usw

. .

.

also:

\to ... .

.

nebenbei:
das stimmt natürlich nicht

!! \to

cosα

= \frac{< u, v >}{| u | \cdot | v |} = . .

. .

= u_{1}

Bella-Bimba aktiv_icon

20:14 Uhr, 05.12.2020

Ok danke

rundblick aktiv_icon

20:27 Uhr, 05.12.2020

1) \to

schau nochmal oben : du hattest da einen Term zuviel in deiner ersten Zeile ..

2) \to

und wie sehen nun die gesuchten Vektoren

\vec{u}

und

\vec{v}

bei dir am Schluss aus ?

... .

. zB: was findest du zB für

u_{2} = .

. oder für

v_{2} = .

. ? .. usw ..

\to . .

.

.

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