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Einige Fragen zu Binomialkoeff. & Stirlingzahlen

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Beweis, Binomialkoeffizient, Rekursion, Stirling zahlen

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23:47 Uhr, 14.11.2012

Servus,
ich hab hier wieder einige Aufgaben aus der Kombinatorikvorlesung, wo ich mal wieder keine Ahnung habe:

a)

Zu zeigen:

\sum_{i = 0}^{n} (\begin{matrix} m + i \\ i \end{matrix}) = (\begin{matrix} m + n + 1 \\ n \end{matrix})

Ich habe soweit einfach die Summe in aufgeschrieben als

(\begin{matrix} m + 0 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} m + 1 \\ 1 \end{matrix}) + . .

+ (\begin{matrix} m + n - 1 \\ n - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} m + n \\ n \end{matrix})

mit

n, m \in ℕ_{0}

Aber ich habe keinen Schimmer, wie ich damit zu

(\begin{matrix} m + n + 1 \\ n \end{matrix})

kommen soll, bzw. was ich zusammenfassen kann und was nicht in der von mir ausgeschriebenen Summe.

b) (\begin{matrix} n \\ m \end{matrix}) (\begin{matrix} m \\ k \end{matrix}) = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) (\begin{matrix} n - k \\ m - k \end{matrix})

Hier habe ich auch keine Idee. Wahrscheinlich irgendwas mit dem

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

muss die Idee dahinter nicht, aber fragt mich nicht was

. .

c)

Das ist eine Aufgabe zu den Stirlingzahlen:

S_{n,3} = \frac{1}{6} (3^{n} - 3 \cdot 2^{n} + 3)

ist zu zeigen.

Hier habe ich ebenfalls keinen Ansatz. Ich weiß lediglich, dass bei Stirling zweiter Art, die rekursive Formel

S_{n, k} = S_{n - 1, k - 1} + k \cdot S_{n - 1, k}

gilt für

k, n \in ℕ

mit

k \leq n

. Aber damit komme ich ja schlecht zu

\frac{1}{6} (3^{n} - 3 \cdot 2^{n} + 3)

. Da helfen mir auch die Startwerte nicht

. .

.

Da ich die Ergebnisse leider schon zu morgen Abend brauche, wäre ich euch dankbar, wenn man mir zu mindest ausführlich erklären könnte wie ich diese Aufgaben zu machen habe. Optional wäre auch direkt eine Lösung, sodass ich dann auch direkt das Ergebnis habe, ohne von euch die bestätigung holen zu müüssen ob ich richtig gerechnet habe.

Grüße
Per

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

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