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Einseitige Grenzwerte bestimmen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Definitionsbereich, einseitige Grenzwerte, Grenzwert

Lauand aktiv_icon

14:37 Uhr, 22.05.2021

Hii kann mir jemand erklären was ich hier (Siehe Bild) machen muss? Am besten mit Lösung zum selber vergleichen :-) Danke im voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Definitionsbereich
Definitionsbereich der Wurzel angeben
Definitionsbereich einer Wurzelfunktion
Einführung Funktionen
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

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f (x)

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x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

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Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

N8eule

14:53 Uhr, 22.05.2021

Hallo
zu

1 .)

mit

x

kürzen
oder

f (x) = \frac{x - 3}{\sqrt{x^{2} - 9}} = \frac{x - 3}{\sqrt{(x + 3) \cdot (x - 3)}}

hilft das schon?

zu

2 .)

sehr ähnlich wie

1 .),

wiederum im Nenner die 3. Binomische nutzen

zu

3 .)

ich empfehle, die Sonderfälle

> n = 0

> n = 1

getrennt und anschaulich vorweg zu nehmen.
Für

n > 1

dann könnte Polynomdivision helfen...

Lauand aktiv_icon

17:21 Uhr, 22.05.2021

Also ich habe mir jetzt ein paar Daniel Jung videos angeguckt und das aufgeschrieben.. weiter komme ich nicht.. Ist das richtig oder komplett falsch und wenn ja dann bitte zeig mir was ich machen muss *heul smiley*

rundblick aktiv_icon

18:38 Uhr, 22.05.2021

.

"Ist das richtig oder komplett falsch"

\to

bei deiner "oder"-Auswahl hier ist

\to

"komplett falsch" richtig

! .

. :-)

also: zu

1) \to f (x) = \frac{x - 3}{\sqrt{x^{2} - 9}} .

x_{0} = 3

da ist ein GW (nur rechtsseitig!) zwar

= 0 .

. aber dein Weg dahin ist total falsch

\Rightarrow

da darfst du nicht das Verhalten von Zähler und Nenner einzeln untersuchen bei

x_{0} = 3

und dann kurzerhand aus dem

\frac{0}{0} = 0

schliessen ..
(merke:

\frac{0}{0}

ist einfach ein unbestimmter Ausdruck der nicht definiert ist)

Nun- wie im Hinweis des Aufgabentextes notiert, überlegst du zunächst:

\to

für welche

x

ist

f (x)

definiert? was meinst?

. .

[D : | x | > 3 .

. warum?

]

richtig solltest du dann - wie schon vorgeschlagen wurde - so vorgehen:

f (x) = \frac{x - 3}{\sqrt{x^{2} - 9}} = \frac{x - 3}{\sqrt{x - 3} \cdot \sqrt{x + 3}} = \frac{\sqrt{x - 3} \cdot \sqrt{x - 3}}{\sqrt{x - 3} \cdot \sqrt{x + 3}}

jetzt siehst du vielleicht, dass du mit

\sqrt{x - 3}

kürzen kannst (wenn

x \neq 3)

du erhälst dann eine neue Funktion

g (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{\sqrt{x + 3}}

so:

f

und

g

stimmen überein

a u s s e r

an der Stelle

x = 3 . . (f (3)

existiert nicht - aber

g (3)

existiert )

\to

bei

x = 3

gilt dann:

lim_{x \to 3^{+}} f (x) = lim_{x \to 3^{+}} g (x) = lim_{x \to 3^{+}} (\frac{\sqrt{x - 3}}{\sqrt{x + 3}}) = \frac{0}{\sqrt{6}} = 0

(es existiert also für

f (x)

bei

x = 3 n u r

ein rechtsseitiger GW ,kein linksseitiger GW und kein GW..warum? )

- - - - - - - - - - - -

mach jetzt nach diesem ausführlichen Muster die Aufgabe 2 nun selbst richtig
(beachte bei Aufgabe 2 auch insbesondere die Frage nach dem Definitionsbereich von

g (x) .

. )

wenn du das hast und hier notierst, dann schauen wir noch

3)

genauer an
ok?

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