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Ellipse auf Kreis abbilden

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Tags: Abbildung, Affine Abbildung, Ellipse, Kreis, Polarkoordinaten

 
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TorbenW

TorbenW aktiv_icon

12:55 Uhr, 01.12.2010

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Liebe Freunde der Mathematik,

ich habe ein kleines Problem, und würde mich über Eure Hilfe freuen.
Ich stelle erstmal die Aufgabenstellung vor und gebe dann meine Ansätze preis in der Hoffnung, dass mich jemand unterstützen kann.

a) Ermitteln Sie diejenigen reelen Zahlen a>0 und b>0 für die durch die Gleichung x2a2+y2b2=1 eine Ellipse beschrieben wird, die durch den Punkt P=(-2,0)t geht und für die F1=(2,0)t einer der Brennpunkte ist.

b) Geben Sie M und m einer affinen Abbildung FM,m an, die die Ellipse aus Aufgabenteil a) auf den Kreis
k={(x,y)te R² I (x-4)+(y-3)=25}
abbildet.

So, meine Idee zu Teil a) ist:

die Gleichung soll vermutlich eine Ellipse in Polarkoordinaten beschreiben. Deswegen nehme ich als zweiten Brennpunkt F2=(-2,0)t
Dadurch erhalte ich u.a. den positen Schnittpunkt mit der x-Achse Sx=(4,0)t. Den Sx in die Gleichung eingesetzt ergibt a²=16 also a=4. Den Punkt P in die Gleichung eingesetzt unter der Verwendung von a=4 ergibt ein b=12
→a=4 und b=12
also denke ich ist Aufgabe a) gelöst, unter der Voraussetzung das der zweite Brennpunkt wirklich mein F2 ist.
Sollte ich dies noch genauer bzw. allgemeiner machen?


Teil b) erweist sich für mich als sehr schwierig. Ich suche also eine 2x2 Matrix M und ein Vektor m aus R2 der Gestalt: M(x)+m die meine Ellipse auf den Kreis abbildet. Da habe ich leider gar keine Ahnung und erhoffe mir ein paar Anregungen von Euch.

Schonmal vielen Dank und liebe Grüße...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
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