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Ellipsengleichung ermitteln

Universität / Fachhochschule

Tags: Astronomie, Ellipse, Gleichungen, kartesisches koordinatensystem, Kreis

Kalas aktiv_icon

23:20 Uhr, 07.04.2012

Hallo,

In einem kartesischen Koordinatensystem habe ich zwei Punkte gegeben.

P 1 (0 | 0) < -

Der Ursprung. Dort befindet sich der Himmelspol

P 2 (0 | e) < -

Dort befindet sich der Ekliptikpol.

' e'

steht für den Erdneiungswinkel der bekannt ist

Der Himmelsequator bildet einen Kreis um den Himmelspol mit einem Radius von

90

(90

Längeneinheiten entsprechen einen Winkelabstand von 90° Grad). Die Funktion des
Himmelsequators ist

f (x) = \pm \sqrt{90^{2} - {(x)}^{2}}

Gesucht ist nun die Funktion der Ekliptik

g (x)

in abhängigkeit der Erdneigungswinkel

' e'

Hinweis:
Die Funktion

g (x)

schneidet an vier markanten Punkten.

P 3 (90 | 0) < -

Frühlingspunkt. Auch der Himmelsequator

f (x)

schneidet den Punkt.

P 4 (- 90 | 0) < -

Herbstpunkt. Auch der Himmelsequator

f (x)

schneidet den Punkt.

P 5 (0 | 90 + e) < -

Sommerpunkt. Ein Extremwert.

P 6 (0 | - 90 + e) < -

Winterpunkt. Ein Extremwert.

Ich habe eine Formel die durch alle vier Punkten verlaufen, die aber nicht richtig sein
kann. Denn wenn ich es mit der Funktion

i (x) = a \cdot x

(' a'

ist ein beliebiger wert) gleichsetzte, so
ist der Abstand zwischen den zwei Schnittpunkten nicht genau

180

. Was aber hätte sein sollen.
Also, wenn mir jemand als Ergebniss

h (x) = \frac{\pm \sqrt{{(x \cdot e)}^{2} - {(90 x)}^{2} + 90^{4}} + 90 e}{90}

auf den
Tisch wirft, kann ich euch gleich sagen das es falsch ist. Ich zweifle schon langsam ob diese
Aufgabe überhaupt lösbar ist. Ich wäre überaus dankbar wenn mir jemand

g (x)

ermittelt, oder einen Ansatz gibt wie ich vorgehen soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreis und Mittelsenkrechte
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreise und Lagebeziehungen
Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Was ist der Unterschied zwischen Bogenmaß und Gradmaß eines Winkels?

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Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Kreisrings?

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Wie berechne ich den Umfang und Flächeninhalt eines Kreises?

Kreiszahl Pi

Für was steht die Zahl

π

und was bringt sie mir?

Paulus

02:09 Uhr, 08.04.2012

Hallo Kalas

hat eine Ellipsengleichung nich grondsätzlich diese Form=

\frac{{(x - m_{x})}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - m_{y})}^{2}}{b^{2}} = 1

?

In deinem Fall wäre doch

m_{x} = 0; m_{y} = e; b = 90

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - e)}^{2}}{b^{2}} = 1

Gesucht ist das

a,

welches sich ergibt, wenn man

z . B

P_{3} (90 | 0)

einsetzt:

\frac{{(90)}^{2}}{a^{2}} + \frac{e^{2}}{90^{2}} = 1

Nach mir ergibt sich dann:

a^{2} = \frac{90^{4}}{90^{2} - e^{2}}

Und dies wieder in der Ellipsengleichung eingesetzt:

\frac{(90^{2} - e^{2}) x^{2}}{90^{4}} + \frac{{(y - e)}^{2}}{90^{2}} = 1

Was genau zu deienr Gleichung führt. Ich werfe also deine Gleichung auf den Tisch und behaupte: das ist die einzige Ellipsengleichung, welche deine Bedingungen erfüllt.

Somit ist wohl an deinen nachfolgenden Überlegungen etwas ncht in Ordnung.

Gruss

Paul

Kalas aktiv_icon

09:41 Uhr, 08.04.2012

Hallo Paul,

Erstmals Danke für die schnelle Antwort.

Ich habe schon geahnt das jemand auf die gleiche Gleichung kommen wird wie ich.
Wie du ja in dem Bild mit den Sternen sehen kannst, ist der Himmelsequator in

24

Kuchenstücke
aufgeteil. 2 Uhr liegt gegenüber

14

Uhr, 4 Uhr liegt gegenüber

16

Uhr usw..
Die koordinaten der Himmelsobjekte werden mit Abstand zur Himmelsequator angegeben.
Laut Stellarium befindet sich die Ekliptik bei..

4 Uhr

\to

+20°34'46"

16

Uhr

\to

-20°34'46"

2 Uhr

\to

+12°13'52"

14

Uhr

\to

-12°13'52"

Um nun den Abstand zur Himmelspol zu bestimmen werden die Beispielwerte jeweils mit 90° addiert.
Also..

4 Uhr

\to

110°34'46"

16

Uhr

\to

69°25'14"

2 Uhr

\to

102°13'52"

14

Uhr

\to

77°46'8"

Wenn ich nun den Winkelabstand der Ekliptik zwischen 4 und

16

Uhr oder 2 und

14

Uhr zusammen zähle, komme ich immer auf 180°.

110°34'46"+69°25'14"=180°0'0"
und
102°13'52"+77°46'8"=180°0'0"

was aus anderer Sicht auch irgendwie Logisch ist.
In den Bild von Geogebra kannst du sehen, das der Abstand zwischen Punkt A und

B

oder zwischen

C

und

D

nicht exakt

180

entsprechen. Wobei hier der Punkt

A : 16

Uhr ist. Punkt

B : 4

Uhr, Punkt

C : 14

Uhr und

D : 2

Uhr ist.

Ich vermute entweder spinnt Geogebra, oder der Versuch einen im Raum befindlichen Kreis auf ein zweidimensionales Koordinatensystem zu übertragen sei nicht möglich. Oder kann es sein das die Funktion der Ekliptik nicht irgendeine stinknormale Ellipse ist sondern etwas mehr dahinter steckt? Ich rätsle schon seit Tagen..

mfg, Kalas

Sina86

17:29 Uhr, 08.04.2012

Hallo Kalas,

um wie viel unterscheidet sich denn das Geogebra Ergebnis von 180? Das klingt irgendwie nach einem Rundungsfehler... An sich sollte dein Ergebnis doch so wie deine Ellipsengleichung sein, oder? Also ich steige nicht durch alles durch (Ekliptik, Himmelsäquator etc.). Aber wenn du z.B.

e = 0

in deiner Ellipsengleichung setzt, dann kommt genau deine Funktion

f (x)

raus. Das sollte doch so sein, oder?

Gruß
Sina

Kalas aktiv_icon

18:43 Uhr, 08.04.2012

Richtig, wenn

e = 0

ist, so sind die Gleichungen

f (x)

und

g (x)

logischerweise identisch, bzw. der Himmelsäquator befindet sich genau auf der Ekliptik wenn es keine Erdneigung gäbe.
Zum Thema Rundungsfehler:
Wenn ich für

e = 20

eingebe, und

g (x) = a \cdot x

gleichsetze.

(' a'

ist ein beliebiger Wert),
so erhalte ich immer zwei Schnittpunkte, und der Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten liegt bei

180

bis

180,0575

. Bei

e = 23

ist die Abweichung noch größer, dann liegt der Abstand zwischen

180

und

180,1025

. und bei

e = 26

liegen wir schon zwischen

180

und

180,1709

. Den größten Abstand erhalte ich wenn ich für a ungefähr 1 einsetze. Den kleinsten Abstand, also wir sprechen von 180° ergibt sich wenn

a = 0

oder gegen unendlich anstrebt. Stellarium arbeitet mit einer genauigkeit von einer Bogensekunde, also darf dort ein Rundunsfehler von nur

\pm

0.0002778° passieren. Geogebra hab ich so eingestellt das es

10

Nachkommarstellen anzeigt. Ein Rundungsfehler lass ich ja gelten, aber dafür schein mit der Fehler zu groß um es als Rundungsfehler gelten zu lassen.

Ich gebe mich mit einer Ellipsengleichung dann zufrieden, wenn der Abstand der beiden Schnittpunkte, (unabhängig von

a)

immer 180°0'0"

\pm

2" beträgt. Falls dies überhaupt im Bereich des Möglichen liegt.

Mfg, Kalas

Sina86

20:40 Uhr, 08.04.2012

Ich bin mir aber doch ziemlich sicher, dass es sich hier um ein Problem bei Geogebra handelt. Nur weil es auf 10 Nachkommastellen genau anzeigt, heißt es ja nicht, dass Geogebra Punkte bis auf 10 Nachkommastellen genau berechnet.

Sehr genau kenne ich mich auch nicht mit dem Programm aus, aber soweit ich weiß, wurde es als freies geometrisches Programm für Schulen konzipiert und mich würde es daher nicht wundern, wenn dort starke Rundungsfehler auftauchen. Zur wissenschaftlichen Arbeit dürfte es wohl nicht geeignet sein. Ich kann mich nur noch daran erinnern, dass ich selber schon krasse Rundungsfehler bekommen habe, als ich relativ einfache Formen wie Kreis und Ellipsen gezeichnet und deren Schnittpunkte bestimmt habe. Zudem weiß ich nicht, ob Geogebra skaleninvariant arbeitet, d.h. wenn du in dein Bild hineinzoomst, ob der Kreis neu berechnet wird. Das würde auch erklären, warum du einen so "großen" Fehler bekommst, da du eine relativ große Skala auf der x- und y-Achse gewählt hast.

Zudem bekommst du ja heraus, dass die obige Formel immer 180 Grad liefert, womit sie ja anscheinend richtig ist. Dann hat Geogebra ein Problem. Also wirst du dich entweder mit dem Fehler zufrieden geben müssen, oder dir ein besseres Programm besorgen müssen ;-)

Darüber hinaus ist eine korrekte mathematische Herleitung und eine anschließende händische Kontrolle der Gleichung der beste Beweis dafür, dass die Gleichung stimmt. Egal was Geogebra sagt ;-)

Kalas aktiv_icon

23:53 Uhr, 08.04.2012

Also, ich habe mal die ganze Sache auf die altmodische Art berrechnet, um zu beweisen das es
sich hier nicht um ein Rundungsfehler handelt.

Als erstes setzte ich meine Gleichung

g (x)

mit einer einfachen Gerade gleich.
und werde anschließend den Abstand der beiden Schnittpunkte mit dem Satz des Pythagoras ermitteln.
Wenn ich nun

g (x) = x

haben, und

x

auf einer Seite bringe, so lautet für

x :

X = \frac{90 \cdot (\pm \sqrt{e^{4} - 16200 e^{2} + 13120000} - 90 e)}{e^{2} - 16200}

Sicherlich sind die Zahlen alle sehr groß, aber ein herkömmlicher Taschenrechner
sollte diese Aufgabe gewachsen sein. Immerhin gibt es hier keine versteckten nachkommar Zahlen.

Wenn ich nun für

e = 23

einsetze, so erhalte ich für

x :

x = \frac{90 \cdot (\pm \sqrt{122930041} + 2070)}{15671}

Und somit haben wir die beiden Schnittpunkte:

x_{1} = - 51,7876578154

x_{2} = 75,5640600871

und da sich der Punkt auf der Gerade

y = x

befindet. Wissen wir auch wo sich der Punkt auf der Y-Achse befindet.

P_{1} (- 51,7876578154 | - 51,7876578154)

P_{2} (75,5640600871 | 75,5640600871)

Um nun den Abstand der beiden Punkten zu berechnen wird die Formel

l = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(x_{2} - x_{1})}^{2}}

Zugegeben, hier wird zum ersten mal mit versteckten nachkomma Zahlen gerechnet, dennoch sollte der
Rundungsfehler sehr sehr gering sein. Da lohnt es sich wenig alles in einer Formel zu packen.
Für die Länge

l

bekomme ich

180.10252665

Und tja.. die Zahl kommt mir auch irgendwie bekannt vor. Die hat auch Geogebra mir rausgespuckt und
findet sich in meinem vorherigen Beitrag wieder.

Ich hoffe damit beweisen zu können das der Fehler nicht am großzügigen runden liegt, sondern das die Ellipse

g (x)

einfach nicht das ist was es eigentlich sein soll. Zwar
erfüllt es die Bedingung durch alle vier Jahreszeit-Punkte zu verlaufen, aber nicht die Bedingung das der Ekliptikpol sich tatsälich in der Mitte der Ellipse befindet..

Gruß Kalas

hagman aktiv_icon

07:45 Uhr, 10.04.2012

Gibt es überhaupt irgendeinen Grund zu der Annahme, dass die gesuchte Kurve eine Ellipse ist?

Kalas aktiv_icon

10:20 Uhr, 10.04.2012

Diese Frage ist berechtigt, denn ich weiss eigentlich garnicht wie ich auf einer Ellipsengleichung kam..
Wenn es sich hier um einen Kreis handelt, so müsste der Mittelpunkt irgendwie ermittelt werden. Denn wäre der Ekliptikpol

P_{2} (0 | e)

der Mittelpunkt, so müsste der Radius

\sqrt{90^{2} + e^{2}}

sein um an Punkt

P_{3}

und

P_{4}

zu schneiden. Damit wären aber die beiden Extrempunkte auf

P_{5} (0 | \sqrt{90^{2} + e^{2}} + e)

und

P_{6} (0 | - \sqrt{90^{2} + e^{2}} + e)

was ja nicht sein darf.
Leider bin ich grad nicht am PC um irgendwie herum zu experimentieren. Aber ihr dürft mir gern zuvor kommen^^

Mfg, Kalas

hagman aktiv_icon

11:05 Uhr, 10.04.2012

Ein Kreis wäre ja aucheine Ellipse.
Ich schätze aus dem Bauch heraus, dass es sich bei stereografischer Projektion um eine Ellipse (sogar eine Kreis) handeln würde, nicht jedoch so, wie du es wohl angibst, wenn die Breite

1 : 1

als Radius übernommen wird.
So wie ich deine Himmelskarte oben interpretiere handelt es sich nämlich durchaus wahrscheinlich um eine stereografische Projektion (die Abstände zwischen den Breitenkreisen snd unterschiedlich). Demnach ergibt sich (geometrisch) der Kreis durch die beiden Extrempunkte.
Rechnerisch findet man die Punkte so:
Jeder Großkreis entspricht einer Ebene durch den Ursprung, die die Sphäre schneidet, also allen

(φ, λ)

mit

(\begin{matrix} cos (φ) cos (λ) \\ cos (φ) sin (λ) \\ sin (φ) \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}) = 0,

wobei

a, b, c

den Großkreis bestimmen (Normalenvektor).

Kalas aktiv_icon

13:29 Uhr, 10.04.2012

Ich bin mir nicht sich ob ich das richtig interpretiere. Aber ich schätze mal das diese Augabe zwar geometrisch zu zeichnen ist, aber die Bemaßungen darin nicht exakt sein können. Vergleichbar mit einem gezeichneten Würfel aus der Schrägperspektive. Zwar lässt sich der Würfel so drehen das man nur einen Quadrat sieht und zumindest auf einer Fläche richtig bemaßt werden kann. Würde man es aber mit dem Himmelsäquator versuchen, so wäre die Ekliptik unweigerlich in der "Schrägperspektive" versetzt, so das dessen Bemaßungen auch automatisch verfälscht werden. Aus diesem Grund ist meine letze Bedingung von

180

LE zur gegenüberliegendem Schnittpunkt garnicht zu realisieren. Da hatte der Paulus doch recht..

Das Thema ist somit beendet.
Ich werde demnächst eine neue, ähnliche Frage stellen. Dabei versuche ich es so zu projezieren, das ich auch damit (hoffentlich) rechnen kann/darf. Das heisst es gibt ein Wiedersehen ;-)

Gruss, Kalas
und danke nochmal an alle die dazu was beigetragen haben.

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