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Existenz des uneigentlichen Integrals bestimmen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Integration

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, Integration

tubesub aktiv_icon

14:42 Uhr, 16.06.2016

Guten Tag,
Ich hänge etwas bei einer Aufgabe. Man soll die Existenz des uneigentlichen Integrals

\int

1/(x*(lnx)^t)) in den Grenzen 1 bis unendlich bestimmen, und das im Abhängigkeit des Paramters

t (\in) R

.
Mir ist die Herangehensweise nicht ganz klar. Die Stammfunktion habe ich bereits richtig bestimmt, aber wie ich dort jetzt weitermache bzw. ob dies überhaupt der richtige Weg ist, ist mir schleierhaft. Für jede Hilfe wäre ich Dankbar!
lg, tubesub

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

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f (x)

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x_{0}

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Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

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Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

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\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

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Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

ledum aktiv_icon

15:15 Uhr, 16.06.2016

Hallo
wenn du eine Stampft hast integriere von 1 bis

r

danach

r \to \infty

Gruß ledum

tubesub aktiv_icon

15:27 Uhr, 16.06.2016

Du meinst also:

[

Stammfunktion](von 1 bis

r) +

[

Stammfunktion] (von

r

bis unendlich) ?
Der erste Teil klappt, da bekomme ich ein ganz normales Ergebnis in Abhängigkeit von

r

und

t

heraus, aber der zweite Teil macht mir Sorgen: Wenn man in die Stammfunktion

\frac{{ln (x)}^{1 - t}}{1 - t},

welche, falls ich keine groben Schnitzer gemacht habe, korrekt ist,

r

und unendlich einsetzt, kann man ohne konkrete Werte für

t

kein Ergebnis zustande bringen, oder?

Danke für deine Antwort!

pwmeyer aktiv_icon

20:17 Uhr, 16.06.2016

Hallo,

zu beachten ist auch, dass bei

x = 1

eine Singularität vorliegt.

Man muss untersuchen

lim_{s \to 0 +} \int_{1 + s}^{2} ... (s > 0)

. und

lim_{r \to \infty} \int_{2}^{r} . .

.

Beide Integrale kannst Du mit Deiner Stammfunktion ausrechnen. Und dann musst Du Fallunterscheidungen bezüglich

t

machen.

Gruß pwm

tubesub aktiv_icon

10:04 Uhr, 17.06.2016

Hallo pwmeyer,
Danke für Deine Hilfe!
Habe sowohl das erste Integral bestimmt als auch das zweite.
Das erste hat den Wert

\frac{{ln (2)}^{1 - t}}{1 - t},

das zweite den Wert

\frac{{ln (r)}^{1 - t} - {ln (2)}^{1 - t}}{1 - t}

(wobei

r

große Werte annimmt, dazu jetzt in der Fallunterscheidung mehr)
In der ersten Funktion darf

t

nicht 1 werden, für alle anderen Werte ist die Funktion definiert.
Für

t = 0 :

Funktion

1 = ln (2)

Für

t > 0 :

Funktion 1 geht gegen -unendlich
Für

t < 0 :

Funktion 1 geht gegen 0
Bei der zweiten darf

t

ebenfalls nicht 1 werden.
Für große

r

und

t = 0 :

Funktion 2 geht gegen +unendlich
Für große

r

und

t > 0 :

Funktion 2 geht gegen +unendlich
Für große

r

und

t < 0 :

Funktion 2 geht gegen +unendlich
Soweit, so gut, und hoffentlich richtig.
Wie Verknüpfe ich diese Fallunterscheidungen der beiden Funktionen denn jetzt genau? Worauf ist bei dem Bereich, in dem sich

t

bewegt, zu achten, damit das uneigentliche Integral existiert?
Danke für Eure Hilfe!

ledum aktiv_icon

13:23 Uhr, 17.06.2016

Hallo
wie hast du denn den GW

s

gegen 0 im ersten bestimmt? du hast doch da

{(ln (1 + s))}^{1 - t}

was wenn 1-t<0?.
und in 2. was wenn

1 - t < 0

? deine Fallunterscheidungen mit

t > 0 t = 0 t < 0

sind ungünstig,

z - t

falsch also mach die Fallunterscheidung für

1 - t

Gruß ledum

tubesub aktiv_icon

15:58 Uhr, 17.06.2016

Ich wusste, dass sich irgendwo ein Fehler eingeschlichen hatte, danke. Natürlich lautet die erste Funktion nicht nur

\frac{{ln (2)}^{1 - t}}{1 - t}

sondern

\frac{{ln (2)}^{1 - t}}{1 - t} - \frac{{ln (1 + s)}^{1 - t}}{1 - t}

Für

1 - t < 0

geht der zweite Summand gegen

- \infty,

der erste Summand gegen

+ \infty,

zusammenaddiert also

+ \infty - (- \infty) = + \infty

.
Damit, und unter Berücksichtigung Deines Vorschlages, man sollte die Fallunterscheidung mit

1 - t

anstatt mit

t

durchführen:
1. Funktion:

1 - t < 0

(s.oben)=

+ \infty

1 - t = 0 \Rightarrow

nicht definiert

1 - t > 0 \Rightarrow \to 0

2. Funktion:

1 - t < 0 = \to + \infty

1 - t = 0 \Rightarrow

nicht definiert

1 - t > 0 = \to + \infty

Hat sich wieder ein Fehler eingeschlichen? Oder mache ich schlichtweg Verfahrensfehler?
Danke für deine Bemühungen, wir bekommen das schon noch hin :-)

ledum aktiv_icon

01:57 Uhr, 18.06.2016

hallo
1. schreib die

2 ln

auf einen Nenner, der das Vorzeichen von

1 - t

hat. dann

0 < ln (1 + s) < ln (2) < 1

für

0 < s < 1

damit

{(ln (1 + s))}^{r} > ({ln (2)}^{r}

für

r < 0; {(ln (1 + s))}^{r} < ({ln (2)}^{r}

für

r < 0

dann die GW
Gruß ledum

ledum aktiv_icon

01:57 Uhr, 18.06.2016

hallo
1. schreib die

2 ln

auf einen Nenner, der das Vorzeichen von

1 - t

hat. dann

0 < ln (1 + s) < ln (2) < 1

für

0 < s < 1

damit

{(ln (1 + s))}^{r} > ({ln (2)}^{r}

für

r < 0; {(ln (1 + s))}^{r} < ({ln (2)}^{r}

für

r < 0

dann die GW
Gruß ledum

tubesub aktiv_icon

12:32 Uhr, 19.06.2016

Entschuldigung, dass ich mich jetzt erst wieder melde, hatte viel zu tun.
Also, Du meinst, ich sollte bei der zweiten Funktion die beiden

ln

auf einen Bruch schreiben, also so:

\frac{{ln (2)}^{1 - t} - {ln (1 + s)}^{1 - t}}{1 - t}

Der nächste Schritt erschließt sich mir nicht komplett.

ln (2)

ist immer größer als

ln (1 + s),

deshalb ist

{ln (1 + s)}^{r} < {ln (2)}^{r}

für

r > 0,

aber

{ln (1 + s)}^{r} > {ln (2)}^{r}

für

r < 0

(bei Deiner Antwort steht zwei mal

r < 0,

das war wohl ein Tippfehler, oder?)

Die Grenzwerte muss ich dann jeweils für jeden Fall bilden, sprich für

r

negativ und für

r

positiv, richtig?

Für

r

positiv ist der gesamte Bruch positiv (da Zähler

> 0

und Nenner

> 0),

der Grenzwert ist 0.
Für

r

negativ ist der gesamte Bruch ebenfalls positiv (da sowohl Zähler als auch Nenner negativ sind), der Grenzwert ist

+ \infty

Nur, was sagt mir dass jetzt über die Existenz des Integrals?
Grüße, tubesub

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