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Existenz von Grenzwerten prüfen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert

DerFuchs1337 aktiv_icon

09:24 Uhr, 20.04.2016

Hallo, ich muss folgende Aufgabe lösen:

Überprüfen Sie, ob folgende Grenzwerte existieren und bestimmen sie ggf den Grenzwert.

a) lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x}

b) lim_{x \to 2} ⌊ x ⌋ - 1

c) lim_{x \to 0}

sgn(x)*sin(x)

d) lim_{x \to 1} \frac{x^{n} - 1}{x - 1}

Wie ist die Aufgabe gemeint? Soll ich einfach die Grenzwerte bestimmen? Also bei

a)

zB 1 ? Oder welches Verfahren soll ich anwenden. Den Satz der Cauchy-Konvergenz vlt?

Lg :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

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Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Sina86

10:03 Uhr, 20.04.2016

Hallo,

der Satz der Cauchy-Konvergenz bringt dich nicht weiter, denn der kommt komplett ohne den Grenzwertbegriff aus. Du kannst also keinen Grenzwert durch Cauchy-Konvergenz angeben. Allerdings kannst du beweisen, dass eine Folge keine Cauchy-Folge ist, dann kannst du begründen, dass damit die Folge nicht konvergiert. Das halte ich aber eher für mit Kanonen auf Spatzen schießen...

Es gibt Kriterien, wann eine Folge NICHT konvergiert, z.B. wenn sie keine Cauchy-Folge ist, oder wenn sie mehrere Häufungspunkte hat etc. Das könntest du untersuchen um die Existenz von Grenzwerten auszuschließen.

Wenn eine Folge konvergiert, genügt es nicht, den Grenzwert anzugeben (die Antwort zu

a)

ist übrigens nicht richtig), sondern du musst natürlich auch beweisen, dass die von dir gegebene Antwort der Grenzwert ist.

Das macht man dann für gewöhnlich über die Definition des Limes... D.h. im Falle der Aufgabe

a)

nimmst du dir eine beliebige Folge

(a_{n})_{n \in ℕ}

, die gegen 1 konvergiert und zeigst, dass der Ausdruck

∣ \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x} - G ∣

gegen Null konvergiert. Dabei ist

G

der von dir geratene Grenzwert.

Ggf. können auch Grenzwertsätze / Sätze über den Zusammenhang von Limes und stetigen Funktionen weiterhelfen, das kommt aber darauf an, ob ihr die verwenden dürft.

Lieben Gruß
Sina

DerFuchs1337 aktiv_icon

10:33 Uhr, 20.04.2016

Erstmal dankeschön für deine Hilfe. :-)

Ich habe ein Beispiel im Internet gefunden, dass einen anderen Lösungsweg vorschlägt, und habe es erstmal danach versucht:

Sei

f (x) = \frac{x^{n} - 1}{x^{2 n} - x n}

lim_{n \to \infty} \frac{x n^{2} - 1}{x n^{2} - x n} =

lim_{n \to \infty} \frac{x n^{2} - 1}{x n^{2} - x n} \cdot lim_{n \to \infty} \frac{x n^{2} - 1}{x n^{2} - x n}

= 1 \cdot 1 = 1

also

lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - x} = 1

Gefunden habe ich das hier: www.math.uni-hamburg.de/home/samaga/uebungen/skript_ws_teil2.pdf auf Seite

30

. Macht das Sinn?

Dein Vorschlag: ich schätze zB bei

a)

den Grenzwert

g = 1

.

also sei

E > 0

gegeben. Gesucht ist ein

n 0,

sodass

| \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x} - g | < E

| \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x} - 1 | < E

| \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x} - \frac{1 (x^{2} + x)}{x^{2} + x} | < E

| \frac{- 1 - x}{x^{2} + x} | < E

| \frac{1}{x^{2}} | < E

| \sqrt{\frac{1}{E}} | < x

Wähle

n 0 := \sqrt{\frac{1}{E}}

(die nächste ganze Zahl, also aufgerundet)

Meinst du so ?

ledum aktiv_icon

12:16 Uhr, 20.04.2016

Hallo
da stehen 2 Versionen

\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x}

und

\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - x}

welche ist richtig?
aber beide haben nicht den GW 1
warum du 2 durch

2 n

ersetzt im Nenner durch

n

im Zähler ist mir rätselhaft und es ist falsch danach kann man deine Formeln nicht lesen!
schreib den Zähler als Produkt (Binom) und im Nenner klammer

x

aus. wenn man

a^{2} - b^{2}

sieht sollte man immer an die binomische Formel denken.
du sollst nur überprüfen ob die GW existieren und sie bestimmen, nicht beweisen, wobei für

x

gegen 1 du sicher mit deinem 1 nie beliebig kleine

E

erreichst. und ein

n_{0}

kommt doch nirgends vor? da ist ja keine Folge?
Gruß ledum

DerFuchs1337 aktiv_icon

22:28 Uhr, 20.04.2016

Ups.

Richtig ist

\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x}

Ich habe es jetzt mal so versucht, um zu überprüfen ob die Grenzwerte existieren

a)

für

\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x} = \frac{x (x - 1)}{x (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1}

für

x \geq 2 : \frac{2 - 1}{2 + 1}

oder (bin unsicher) einfach

2 - 1

für

x < 2 : 1 - 1 = 0

c)

sgn(x) ist beschränkt und

sin (x)

periodisch
also setze sgn(x) für

x = 0

dann ist der

lim

sgn(x)sin(x) wenn

x \to 0 = 0

ich würde das jetzt so begründen, dass sgn(0)

= 0

und

0 \cdot

irgendetwas beliebiges

= 0,

das ist aber wohl keine gute Begründung. Jemand Ideen/Verbesserungen zur Lösung?

zu

b)

wie soll ich das mit den Gaußklammern machen?

zu

d)

ergibt das hier auch 1 ?
Wenn ich die Grenzwertexistenz überprüfe, bestimme ich doch gleichzeitig den Grenzwert oder?

abakus

22:44 Uhr, 20.04.2016

x²-1 ist NICHT x(x-1).
Schon mal was von der dritten binomischen Formel gehört?

DerFuchs1337 aktiv_icon

14:14 Uhr, 21.04.2016

Ja, ich weiß dass die dritte binomische formel

(a + b) (a - b)

ist. Aber wie soll ich das hier anwenden?

Also erneuter Versuch:

lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x}

einfach 1 einsetzen:

\frac{1^{2} - 1}{1^{1} + 1} = \frac{0}{0}

also geht nicht. Es existiert also kein Grenzwert.

lim_{x \to 2} x - 1

Die abgerundeten Gaußklammern kann ich weglassen, da ich doch eh 2 einsetze und das ist eine ganze Zahl, ist das ok so?

also dann

2 - 1 = 1

. also ist der Grenzwert für

x = 2

der Wert 1.

lim_{x \to 0} \frac{}{}

sgn(x)

sin (x)}

sgn(0)

= 0

sin (0) = 0

also ist der Grenzwert 0 an der Stelle

x = 0

lim_{x \to 1} \frac{x^{n} - 1}{x - 1}

also

\frac{1 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0},

also existiert kein Grenzwert.

Ich habe echt keine Ahnung wie man das (falls das mit dem einsetzen erlaubt ist, um die existenz zu überprüfen) auch formal aufschreiben soll. Wenn ich die Existenz überprüfe, erhalte ich doch automatisch den Grenzwert oder?

Kann jemand vielleicht für eine der Aufgaben das Vorgehen aufschreiben, damit es mir klarer wird?

Danke und lg :-)

abakus

14:17 Uhr, 21.04.2016

"Ja, ich weiß dass die dritte binomische formel (a+b)(a−b) ist. Aber wie soll ich das hier anwenden?"

Es ist 1 das Gleiche wie 1².
x²-1=x²-1²=( ... )( ... )

DerFuchs1337 aktiv_icon

15:05 Uhr, 21.04.2016

Warum muss ich das denn so umschreiben ? Also warum kann ich nicht einfach für

x

den jeweiligen Wert einsetzen?

ledum aktiv_icon

16:18 Uhr, 21.04.2016

Hallo
rgendwie hast du nichtverstanden was GW bedeutet!
einfach 1 einsetzen gibt das sinnlose

\frac{0}{0}

und du weisst nichts! GW bilden geht

i . A

. nicht mit einsetzen weil man dabei egal ob der GW existiert

\frac{o}{o}

oder

\frac{\infty}{\infty}

rauskriegt
wenn du zb. für

\frac{x - 1}{x - 1}

für

x 1

einsetzt bekommst du auch

\frac{0}{0}

aber hier siehst du hoffentlich den GW direkt.
warum folgst du dem tip nicht wenigstens mal versuchsweise? und fragst dann wieder?

die Aufgabe mit der Gaußklammer

x

kann sich der 2 von unten nähern oder von oben wenn du sehr nahe an 2 bist also

x = 1.9999999999999999999

was ist dann der Wert? wenn du von der anderen Seite nahe an 1 bist also

2.000000001

hast du recht
Gruß ledum

DerFuchs1337 aktiv_icon

20:37 Uhr, 21.04.2016

Meint ihr für

a)

\frac{(x^{2} - 1) (x^{2} + 1)}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}

oder geht es auch mit

\frac{x^{2} (1 - \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} (1 + \frac{1}{x^{2}})}

dann kürzt sich

x^{2}

weg und es bleibt 1.

ledum aktiv_icon

01:47 Uhr, 22.04.2016

Hallo
warum benutzt du nicht die 3 te bin

f

Formel endlich

x^{2} - 1 = (x + 1) \cdot x - 1)

und

x^{2} - x = x \cdot (x - 1)

dann kannst du für

x

beliebig nahe an

1,

aber

\neq 1

kürzen und damit den GW bestimmen.
Liest du eigentlich was wir schreiben wirklich und denkst 5 Minuten darüber nach?
wenn es wirklich

\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x}

heisst brauchst du bei

x = 1

wirklich nur einsetzen und erhältst 0 da der nenne ja ungleich 0.
ich vermute aber das ist ein Abschreibefehler und es heisst

\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - x} d . h

. Zähler und Nenner 0 bei

x = 1

dann gibt es keinen Wert, sondern nur einen GW.
hast du die Aufgabe mit der Gaussklammer jetzt richtig?
bei

d)

empfiehlt sich Polynomdivision
Gruß ledum

DerFuchs1337 aktiv_icon

20:23 Uhr, 22.04.2016

Ja ich lese was ihr schreibt, aber ich bin leider nicht so gut in binomische Formeln erkennen. Die erste verstehe ich aber jetzt.

bei

d)

geht da anstatt Polynomdivision auch der Satz von l'Hospital? da wir

\frac{0}{0}

haben können wir den Zähler und Nenner jeweils als Funktion betrachten, und dann die Ableitung bilden und wieder versuchen den Grenzwert zu bilden.

Dann komme ich darauf dass der Grenzwert

n

ist, oder ist das Unsinn ?

Respon

20:30 Uhr, 22.04.2016

Nein

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