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Exponentialfunktion Abiaufgabe 2006

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Abiaufgabe, Exponentialfunktion

Dontcare aktiv_icon

19:06 Uhr, 28.03.2010

Ich komm bei folgender Aufgabe einfach nicht weiter:

Aus einem Verbrennungsmotor kommt in einem bestimmten Zeitintervall Feinstaub mit einer
Verteilung, die durch die Funktion

f

gegeben ist. Dabei gibt

f (x)

an, wie viele Partikel mit dem
Durchmesser

x (\in

kontinuierlicher Näherung) ausgestoßen werden

(x

in μm ). Die Funktionsgleichung
von

f

lautet

f (x) = 250 x \cdot e^{- 0} . 5 x

Führen Sie Ihre Berechnungen ohne Berücksichtigung
der Dimensionen durch!

a)

Begründen Sie, dass für alle

x

gilt:

f (x) > 0

und die Asymptote hat die Gleichung

y = 0

.
Bestimmen Sie, für welchen Durchmesser

x

die größte Anzahl von Teilchen ausgestoßen
werden und geben Sie die Anzahl der Partikel mit diesem Durchmesser an. Skizzieren Sie
den Graphen der Funktion

f

für 0 £

x

£ 5.

Ich komm einfach nicht klar mit dieser Aufgabe. Alleine schon das die Asymptote bei

y = 0

sein soll macht für mich absolut kein Sinn. Wenn ich die Funktion bei Geogebra eingebe kommt da eine art von Parabel raus. Wie kann da die Asymptote

y = 0

sein. Ich dachte die Asmyptote w#re eine Kurve die sich einem Grenzprozess beliebig NÄHERT.
und wie kann man begründen das für

f (x)

gilt

> 0

. ?????Wer sich die Aufgabe genau ansehen will kann das hier

\to

http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Aufgaben/2006MatheTRGK.pdf

ich danke für jede Hilfe

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Marsheiland aktiv_icon

19:22 Uhr, 28.03.2010

f (x) = 250 x \cdot e^{- 0,5 x}

für

x > 0

ist

f (x) > 0,

250 \cdot x > 0

und

e^{- 0,5 x}

für alle

x

aus

ℝ > 0

ist
wenn du jetzt den Grenzwert bildest:

lim (250 x \cdot e^{- 0,5 x})

für

x \to \infty

geht

250 x \to \infty

und

e^{- 0,5 x} \to 0

wobei die e-Funktion "stärker" ist als der lineare Anteil...
Also ist der Grenzwert

0 \to y = 0

ist waagrechte Asymptote für

x \to \infty

Grüße

Marsheiland aktiv_icon

19:35 Uhr, 28.03.2010

Der gesuchte Durchmesser

x

ist der x-Wert des Hochpunkts:

H (2 | 183,94)

\to 2

μm;

~ 184

Teilchen

Dontcare aktiv_icon

20:25 Uhr, 28.03.2010

Heißt das, dass

e

hoch unendlich immer 0 gibt oder nur wenn es

e

hoch irgendwas mal unendlich ist?

CKims aktiv_icon

12:54 Uhr, 30.03.2010

hallo,

lim_{x \to \infty} e^{- x} = 0

e

hoch minus unendlich ist also immer null.

lim_{x \to \infty} x = \infty

wenn

x

gegen unendlich geht, gehst du ins unendliche.

problem hast du wenn

lim_{x \to \infty} x \cdot e^{- x} = 0 \cdot \infty

ist. ist das null oder unendlich? die frage laesst sich beantworten, wenn man sich anguckt, ob

x

"schneller" ins unendliche geht oder

e^{- x}

"schneller" gegen null. eine exponentialfunktion ist schneller als eine lineare funktion. deshalb geht

e^{- x}

"schneller" gegen null und das ergebnis ist

lim_{x \to \infty} x \cdot e^{- x} = 0

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