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Exponentialfunktion aufstellen

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Tags: Exponentialfunktion, Funktion

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17:49 Uhr, 22.12.2019

Guten Abend zusammen,

da mein Mathe schon etwas eingerostet ist und ich gefühlt seit einer Ewigkeit nicht auf ein Ergebnis komme, wollte ich hier mal nachfragen, ob einer evtl. weiterhelfen kann. :-)

Aktuelles Problem:
Ich versuche zu folgenden Wertepaaren die Eponentialgleichung zu finden:

Stufe (x)

\to

Wert

(y)

1 \to 6

2 \to 16

10 \to 401

11 \to 499

12 \to 609

15 \to 1024

28 \to 4529

220 \to 726074

498 \to 5562261

500 \to 5618163

504 \to 5730974

617 \to 9494480

744 \to 15149234

800 \to 18158555

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Hintergrund: Hierbei handelt es sich im ein Spiel. Ein gewisses Artefakt kostet auf Stufe

1 \to 6

Gold. Auf Stufe

2 \to 16

Gold, auf Stufe

10 \to 401

Gold usw... Siehe Tabelle Oben. Nun wollte ich eben mal eine Gleichung aufstellen um für jedes Level den Goldbetrag auszurechnen. Jedoch scheitere ich hier aktuell. Das Artefakt startet IMMER mit Level 1 und das Upgrade auf lvl 2 kostet 6 Gold.

Somit habe ich es mit folgender Gleichung versucht:

f (x) = c \cdot e^{k \cdot x}

Wenn mein Startwert

(c)

also nun immer 6 ist, müsste es ja folgt lauten:

f (10) = 401

401 = 6 \cdot e^{k \cdot 10}

k = \frac{ln (\frac{401}{6})}{10}

k = 0,4202201958

\Rightarrow

Als ich nun die weiteren

x

Werte einsetzen wollte, merke ich jedoch das die anderen Werte nicht wirklich stimmen.
Somit habe ich den Wachstumsfaktor mal für eine höhere Zahl ausgerechnet:

f (500) = 5618163

5618163 = 6 \cdot e^{k \cdot 500}

k = \frac{ln (\frac{5618163}{6})}{500}

k = 0,02749951166

\Rightarrow

Die beiden Werte für

k

unterscheiden sich hierbei schon erheblich, ich weiß jedoch nicht warum und wo hier mein Denkfehler ist?

Wäre sehr nett, wenn mir hierbei jemand helfen könnte :-)

Vielen Dank und viele Grüße
Rick

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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18:26 Uhr, 22.12.2019

Hallo,

einen direkten funktionalen Zusammenhang scheint es nicht zu geben. Ich habe deshalb eine exponentielle Regression durchgeführt. Hier ist das Ergebnis nicht wirklich zufriedenstellend, siehe Bild. Die Regressionsfunktion ist

y = m \cdot e^{b \cdot x}

mit

m = 378, 1458755

und

b = 0, 016413536

.

Gruß

pivot

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18:36 Uhr, 22.12.2019

Guten Abend pivot,

erstmals vielen Dank für deine Mühe.

Könntest du mir das bitte nochmals etwas genauer Erklären? Wie

z . B

. führt man eine exponentialle Regression durch und was sagt diese konkret aus?

Und wie bereits gesagt ist dies in einem Spiel so einprogrammiert. Ich kann mir gerade garnicht vorstellen, dass es hierzu keine entsprechende Funktion gibt um den entsprechenden Goldwert pro level zu berechnen? Das "Spiel" berechnet es ja auch bzw gibt die Werte vor :-D)

Würden dir evtl mehrere Werte helfen?

z . B

. von Level

620

bis level

640

mit den jeweiligen kosten? Oder würde man dann aufs Gleiche hinaus kommen?

Vielen Dank und Gruß
Rick

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19:03 Uhr, 22.12.2019

>>Könntest du mir das bitte nochmals etwas genauer Erklären? Wie z.B. führt man eine exponentialle Regression durch und was sagt diese konkret aus? <<

Man kann die y-Werte logarithmieren (ln) und dann eine lineare Regression durchführen.

Denn

y = m \cdot e^{b \cdot x} \overset{\ln}{\overset{}{\Rightarrow}} \ln (y) = m + b \cdot x

Ich habe jetzt auf die schnelle eine Formel aus dem Internet verwendet und zwar die hier: www.excelformeln.de/formeln.html?welcher=276

Ich habe jetzt gerade eine lineare Regression mit Excel durchgeführt indem ich die y-Werte in

\ln

-Werte umgewandelt habe und kam auf das gleiche Ergebnis.

Am einfachsten ist es, wenn du ein Online-Tool verwendest für exponentielle Regression, wie z.B. hier: keisan.casio.com/exec/system/14059930754231

Wenn du die Regression online durchführst, dann ist es sicher nicht verkehrt auf den Wert von r (Korrelationskoeffizienten) zu achten.

>>Würden dir evtl mehrere Werte helfen?<<

Vielleicht.

MONxiToa

19:26 Uhr, 22.12.2019

Warum meinst du, dass es eine Exponentialfunktion sein muss? Möglicherweise ist es keine. Der Verlauf der Funktionswerte sieht eher nach polynomialem Wachstum aus. Aber auch das ist fast wie in die Kristallkugel sehen - man braucht schon eine gute Vorstellung vom Verlauf der Funktion, um das passende „Funktionsmodell“ zu finden, an das man die Punkte anpassen kann. Natürlich kann man Standardmodelle nehmen und schauen, ob es passt, aber sehr wahrscheinlich kann man so die Funktionsgleichung nicht exakt rekonstruieren (es sei denn, sie ist besonders einfach).

Mit diesen Werten

http//www.wolframalpha.com/input/?i=fit%20%281%2C6%29%2C%282%2C16%29%2C%2810%2C401%29%2C%2811%2C499%29%2C%2812%2C609%29%2C%2815%2C1024%29%2C%2828%2C4529%29%2C%28220%2C726074%29

spuckt Wolfram Alpha z.B. ein quartisches, ein kubisches und ein quadratisches Näherungspolynom aus. Aber alle drei können den nächsten Wert aus der Liste nicht genau berechnen. Vielleicht ist die Funktion auch abschnittsweise definiert, also für verschiedene Intervalle verschiedene Funktionsgleichungen. Ich befürchte, deine Aussichten auf eine Rekonstruktion der ursprünglichen Funktionsgleichung sind leider schlecht.

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19:46 Uhr, 22.12.2019

Ich hatte einfach den Verdacht auf eine Exponentialfunktion. So tief bin ich dann auch nicht in der Mathematik drin :-D)
Aber ja hatte auch schon den Verdacht, dass es Abschnittsweise eine andere Einstufung der Kosten geben könnte...

Jedenfalls habe ich jetzt nochmals ein paar Werte ergänzt (soviel wie aktuell möglich waren).
Eventuell kann man nun aus den Werten der 600er Reihe eine fast annähernde Funktion bilden?

1 \to 6

2 \to 16

10 \to 401

11 \to 499

12 \to 609

15 \to 1024

28 \to 4529

220 \to 726074

345 \to 2226846

498 \to 5562261

500 \to 5618163

504 \to 5730974

617 \to 9494480

619 \to 9571483

620 \to 9610124

621 \to 9648859

622 \to 9687687

623 \to 9276609

624 \to 9765625

625 \to 9804734

626 \to 9843938

627 \to 9883235

628 \to 9922626

629 \to 9962111

630 \to 10001690

631 \to 10041364

632 \to 10081131

633 \to 10120993

634 \to 10160950

635 \to 10201001

649 \to 10771679

744 \to 15149234

800 \to 18158555

Falls dies auch nicht möglich ist, dann gehts eben nicht

: (

Aber hätte ja sein können, dass es hierzu eine passende Funktion gibt und wir/ihr die hättet annähernd rekonstruieren können.

Viele Grüße
Rick

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19:56 Uhr, 22.12.2019

Warum versuchst du es nicht selber mit dem Online-Rechner?

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20:13 Uhr, 22.12.2019

Könnte ich ja, jedoch wie bereits gesagt übersteigt all das mit Reggression usw. meine mathematischen Fähigkeiten und Kenntnisse.
Auch wenn ich da die Werte eingebe, wüsste ich leider nichts mit dem Ergebnis anzufangen

: (

Daher ja auch nochmal die Bitte an Euch. :-)

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20:27 Uhr, 22.12.2019

Es ist doch ein guter Ansatz die x-y-Wertepare zu verwenden, bei denen die y-Werte im 600er Bereich liegen. Die Eingabe der x- und y-Werte bekommst du hin. Danach helfen wir gerne weiter.

Roman-22

21:06 Uhr, 22.12.2019

Ich beziehe mich jetzt nur auf deine im ersten Posting genannten Werte.
Lässt man sie doppelt-logarithmisch plotten, so stellt sich ein annähernd linearer Graph ein. Daher sollte man eher eine Power-Regression, also eine Näherung mittels einer Potenzfunktion, versuchen.
Im Anhang zwei Varianten - einmal mit und einmal ohne zusätzlichen vertikalen Versatz.

In deinem Spiel wird wohl eher keine Funktion, sondern eine Tabelle (mit mehr oder weniger willkürlichen Werten) einprogrammiert sein, schätze ich.

Roman-22

21:34 Uhr, 22.12.2019

Bei deinen neuen Werten fällt 623→9276609 ziemlich aus dem Rahmen. Sollte es vl 623→9726609 lauten?

Mit dieser Korrektur ergeben sich die im Anhang ersichtlichen Werte. Ich habe noch eine Hoerl-Approximation (Kombi aus Potenz- und Exp.-Funktion) ergänzt, die bislang den kleinsten SSE und damit den besten Fit hat.
SSE="Sum of squared errors"

\to

Summe der Abweichungsquadrate und daraus noch die Wurzel gezogen. Ist ein Maß für die Güte der Regression, wobei allerdings die Punkte mit größeren Ordinatenwerten deutlich stärker gewichtet werden.
Das ist auch der Grund dafür, warum du eine andere Funktion als meine

f_{2} (x)

erhalten würdest, wenn du

x -

UND y-Werte logarithmierst und damit dann eine lineare Regression durchführst.
EDIT: In der Grafik noch

f_{4} (x)

ergänzt. Diese Potenzfunktion ergibt sich, wenn man mit den (doppelt) logarithmierten Daten eine lineare Regression durchführt. Man sieht deutlich, dass die Punkte mit größeren Ordinatenwerten nicht so stark berücksichtigt werden, dafür passt die Funktion im "unteren" Bereich besser.
Zusätzlich in der Grafik noch den (Pearson-)Korrelationskoeffizient ergänzt.

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