Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Exponentialfunktion bestimmen

Exponentialfunktion bestimmen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Exponentialfunktion

vahthi aktiv_icon

21:26 Uhr, 10.04.2011

Hallo an alle,
so mein Problem ist es , dass ich einen Versuch ausgeführt hatte und nun will ich die dazugehörige exponentialfunktion herleiten. Excel hab ich zu kontrollzwecken auch direkt mal benutzt und dann gemerkt dass die angegebene Funktionen weit weg von meinen Messwerten liegt .
Nun meine Frage : Kann mir jmd zeigen wie ich genau das Ergebnis herleite ? :-D)

Hier die jeweiligen werte:

X: 0,73;0,755;0,77;0,782;0,793;0,834;0,867;0,894
Y: 1;2;3;4;5;10;15;20;

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

OmegaPirat

21:43 Uhr, 10.04.2011

Hallo
Das was du wissen möchtest, bezeichnet man als Regressionsrechnung.

DIese läuft in der Regel wie folgt ab:

Du hast einen empirisch gefundenen xy-Datensatz und erkennst einen funktionalen Zusammenhang zwischen den

y

und den x-werten.
Dann musst du als erstes eine Vermutung aufstellen, wie der funktionale Zusammenhang aussehen können. Wie du angegeben hast, handelt es sich um eine Exponentialfunktion.
Diese wird allgemein als y=a*e^(bx) angegeben. a und

b

sind noch zu berechnende Parameter.
Als nächstes linearisiert man die Funktion. Dies geht hier ganz einfach indem man den Logarithmus drauf anwendet. Also:

ln (y) = ln (a \cdot e^{b x}) = b x + ln (a)

Wenn du also

ln (y)

gegen

x

aufträgst, erhälst du einen linearen Zusammenhang.
Ich führe jetzt noch die Abkürzungen

z = ln (y)

und

c = ln (a)

ein.
Dann sieht die Gleichung so aus:

z = b \cdot x + c

Nun kannst du eine lineare Regression durchführen. Man sucht also diejenige gerade, welche die Datenpunkte am besten annähert. Dies macht man mit der Methode der kleinsten Quadrate. Das habe ich letztens schonmal jemandem erklärt. Ich kopiere einfach meinen alten Beitrag. Dabei sind aber die Parameterbezeichnungen anders als hier:

"Ich rechne dir das mal am Beispiel der linearen Regression vor.
In diesem Fall hat die Funktion die Form y=mx+b
Damit ist die mittlere quadratische Abweichung der

N

Punkte

Δ^{2} = \frac{1}{N} \cdot \sum_{n = 1}^{N} {(y_{n} - m x_{n} - b)}^{2}

Nun muss ich diesen Ausdruck bzgl.

m

und

b

minimieren

\Rightarrow 0 = \frac{d Δ^{2}}{d b} = - \frac{2}{N} \cdot \sum_{n = 1}^{N} (y_{n} - m x_{n} - b) = - \frac{2}{N} \cdot \sum_{n = 1}^{N} y_{n} + 2 \frac{m}{N} \sum_{n = 1}^{N} x_{n} + 2 \frac{b}{N} \cdot \sum_{n = 1}^{N} 1

Das lässt sich noch ein wenig vereinfachen und es lassen sich folgende Abkürzungen einführen

y_{M} = \frac{1}{N} \cdot \sum_{n = 1}^{N} y_{n}

ist das arithmetische Mittel der y-werte der Punkte

x_{M} = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} x_{n}

ist das arithmetische Mittel des x-Wertes
Außerdem ist

\sum_{n = 1}^{N} 1 = N

\Rightarrow - y_{M} + m x_{M} + b = 0

Jetzt muss man noch bzgl.

m

minimieren

\Rightarrow

0 = \frac{d Δ^{2}}{d m} = - \frac{2}{N} \cdot \sum_{n = 1}^{N} [x_{n} \cdot (y_{n} - m x_{n} - b)]

= - \frac{2}{N} \cdot \sum_{n = 1}^{N} (x_{n} \cdot y_{n}) + 2 \frac{m}{N} \cdot \sum_{n = 1}^{N} {(x_{n})}^{2} + 2 \frac{b}{N} \sum_{n = 1}^{N} x_{n} = - 2 \cdot {(x \cdot y)}_{M} + 2 m \cdot x_{M}^{2} + 2 b x_{M}

Dabei ist

x_{M}^{2} = \frac{1}{N} \cdot \sum_{n = 1}^{N} {(x_{n})}^{2}

der mittelwert der Quadrate der x-Werte der Punkte
und

{(x \cdot y)}_{M} = \frac{1}{N} \cdot \sum_{n = 1}^{N} (x_{n} \cdot y_{n})

\Rightarrow

- {(x \cdot y)}_{M} + m \cdot x_{M}^{2} + b x_{M} = 0

Jetzt muss man nur noch das Gleichungssystem

- y_{M} + m x_{M} + b = 0

- {(x \cdot y)}_{M} + m \cdot x_{M}^{2} + b x_{M} = 0

nach

m

und

b

auflösen

\Rightarrow m = \frac{x_{M} y_{M} - {(x y)}_{M}}{{(x_{M})}^{2} - x_{M}^{2}}

und

b = \frac{{(x y)}_{M} x_{M} - y_{M} x_{M}^{2}}{{(x_{M})}^{2} - x_{M}^{2}}

Hier sind noch weitere Abkürzungen möglich, so ist

σ_{x^{2}} = {(x_{M})}^{2} - x_{M}^{2}

die Varianz der x-werte
und

σ_{x y} = (x_{M} y_{M} - {(x y)}_{M})

die Kovarianz
Daraus folgt folgende kompakte darstellung

m = \frac{σ_{x y}}{σ_{x^{2}}}

und

b = - \frac{σ_{x y}}{σ_{x^{2}}} \cdot x_{M}

Und damit ist die optimale geradengleichung

y = \frac{σ_{x y}}{σ_{x^{2}}} \cdot x - \frac{σ_{x y}}{σ_{x^{2}}} \cdot x_{M}

vahthi aktiv_icon

22:09 Uhr, 10.04.2011

Erst einmal danke für die superschnelle Hilfe :-)

:-D) Wahnsinnn , bloß ist es so, dass mein Lehrer schon einmal sowas gemacht hat.
Also genauer gesagt ist diese FUnktion für meine Facharbeit in Physik und mein Lehrer meinte es sollt ungefähr so sein wie hier im Anhang :-P) und ich weiß nicht ob deine Funktion wie du sie mir gegeben hast wirklich die richtige ist.

OmegaPirat

22:29 Uhr, 10.04.2011

Hallo
Könntest du die Bilder ein wenig größer hinbekommen? Ich kann das nicht lesen und es wäre auch ganz gut, wenn du sie einmal um

90

Grad im Uhrzeigersinn drehst.

vahthi aktiv_icon

23:18 Uhr, 11.04.2011

Kla warte ich lads nochmal hoch aber ich weiß nich ob links erlaubt sind :-D) ich tu sie trd mal hochladen :
http//www65.zippyshare.com/v/36675381/file.html

und
http//www65.zippyshare.com/v/81246229/file.html

OmegaPirat

14:24 Uhr, 12.04.2011

Ihr seid vom gleichen Funktionstyp ausgegangen wie ich, nämlich

y = a \cdot e^{b x}

und habt dies anschließend durch logarithmieren linearisiert.

Eine Regressionsrechnung finde ich bei deinen eingescannten Unterlagen hingegen nicht. Stattdessen wird allerdings auf eine Regression verwiesen.
Wenn man eine Regression wirklich berechnen will, muss man das so machen, wie ich es heir bereits erklärt habe. Da ihr aber noch zur Schule geht, kann es auch sein, dass ihr das einfach in euren Taschenrechner eingebt. Ein GTR kann nämlich auch lineare Regression oder aber ihr zeichnet einfach nach Gefühl eine Gerade durch die aufgetragenen Messpunkte.
Ist wirklich verlangt die optimale Gerade zu berechnen?

vahthi aktiv_icon

15:04 Uhr, 12.04.2011

Also ich hab noch einmal mit meinem Lehrer gesprochen und wenn ich ihn richtig verstanden habe meinte er, dass ich zunächst anhand von den Messwerten von einer Funktion ausgehen soll :-P) desweiteren soll ich dann ggf wie auf dem Blatt die Funktion bestimmen. Nur mein Problem hier ist glaub ich relativ einfach , aber ihc hab einfach das Problem dass ich irgendwie auf dem Schlauch stehe :-D)

Kannst du mir vllt anhand der Daten von oben ein Beispiel geben :-P) wie ich das auszurechnen habe :-)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

878067

877496

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?