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Exponentialfunktion bestimmen durch Punkte

Schüler Berufsschulen, 13. Klassenstufe

Tags: Exponentialfunktion, Gleichung bestimmen

Chiqx aktiv_icon

11:43 Uhr, 07.02.2015

Hallo liebe Community. Bisher war ich in Mathematik immer sehr gut. Doch nun haben wir ein Thema angefangen, das mir große Schwierigkeiten bereitet. Es geht um Exponentialfunktionen. Folgende Aufgabe:

Die Staatsverschuldung bezeichnet die zusammengefassten Schulden der öffentlichen Haushalte eines Staates gegenüber den Kredit gebenden Gläubigern. Im ersten Jahrzent des neuen Jahrtausends hat die Verschuldung vieler Staaten,

u

a

. bedingt durch die Banken-/Finanzkrise,

z

. T. sehr stark zugenommen. Die bedrohliche Entwicklung der gesamten Schuldenlast eines Staates für den Zeitraum von

2005 - 2009

ist in der folgenden Tabelle angegeben.

Staatsverschuldung eines Landes:
Jahr:

2005, 2006, 2007, 2008, 2009

Schuldenstand in MRD EUR:

791, 978, 1262, 1650, 2520

(Das ist also eine Tabelle, zB

2005

war der Schuldenstand

791

MRD EUR hoch)

Aufgabe

a)

ist die Funktion mit der ExpReg (Regressionsfunktion) des GTR Taschenrechners zu bestimmen. b)sollte man einfache Nebenaufgaben berechnen. Die letzte Teilaufgabe von

b)

verstehe ich jedoch nicht.
Frage: Zu welchem Zeitpunkt hat sich der Schuldenstand vom Jahresbeginn

2005

verdoppelt?

Mein Ansatz:

f (x) = 749,8479 \cdot {1,3285}^{x}

Schuldenstand in

2005 = 791

. Doppelter Schuldenstand

= 791 \cdot 2 = 1582

Einsetzen in

f : 1582 = 749,8479 \cdot {1,3285}^{x}

Jetzt habe ich überlegt und überlegt und weiß nicht wie ich die Wurzel ziehen soll.Ich muss ja nach

x

auflösen. Oder etwa nicht?

Meine 2. Frage ist zur Aufgabe

c)

.
Aufgabe: Wie kann man die Gleichung der Exponentialfunktion bzw. e-Funktion. die das Wachstum der Staatsverschuldung näherungsweise beschreibt, auch ohne die Regressionsfunktion des Taschenrechners ermitteln?

Da habe ich auch ein wenig nachgedacht und kam zu dem folgenden Ansatz:

A (0 | 791); B (1 | 978)

Einsetzen der Punkte in

f :

791 = a \cdot b^{0}

978 = a \cdot b^{1}

Problem ist jetzt, dass ich die Gleichung wahrscheinlich auflösen muss nach a oder

b

erst, um die Lösung dann einzusetzen in die nächste Gleichung. Doch ich habe zwei Unbekannte in diesem Fall. Also könnte man ja versuchen eine Variable zu eliminieren durch Addition/Subtraktion? der Gleichungen. Wie soll ich denn aber einen Exponenten addieren oder subtrahieren bzw. darf man das überhaupt, also die Gleichungen einfach addieren/subtrahieren?

Ich bedanke mich bei euch im Voraus für eure Zeit und Hilfe.

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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12:02 Uhr, 07.02.2015

Du musst logarithmieren:

1582 = 749,8479 \cdot {1,3285}^{x}

{1,3285}^{x} = \frac{1582}{749,8479}

x = \frac{ln (\frac{1582}{749,8479})}{ln 1,3285}

2.Frage:

N (t) = N (0) \cdot a^{t}

N (2009) = N (2005) \cdot a^{4}

2520 = 791 \cdot a^{4}

a = {(\frac{2520}{791})}^{\frac{1}{4}} = 1,336

f (x) = 791 \cdot {1,336}^{x} (x =

Jahre)

anonymous

13:44 Uhr, 07.02.2015

2)

791 = a \cdot b^{0}

"Problem ist jetzt, dass ich die Gleichung wahrscheinlich auflösen muss nach a oder b"

Überleg dir:

>

was ist denn

b^{0}

>

Folglich, wie groß ist a ?

Einsteinium aktiv_icon

17:58 Uhr, 07.02.2015

Hey,

also falls du das scheinbar selbst nicht weißt,
aber hoch 0 heißt immer gleich 1.

Zb.

0^{0} = 1

2^{0} = 1

usw.

das heißt

b^{0} = 1

und damit ist

a = 791

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anonymous

13:04 Uhr, 09.02.2015

Hallo Einsteinium
Ja, das ist fast genau das, was ich Chiqx zugetraut hätte.
Nur, gestatte eine Anmerkung, weil ich das so nicht stehen lassen will:
Du schreibst:

0^{0} = 1

Streng genommen ist

0^{0}

nicht definiert.
Du hast zwar in vielen Fällen recht, wie

z . B

. auch im vorliegenden Fall hier.
Aber "0^0=1" lässt sich so nicht verallgemeinern.
Überleg dir mal, was zB. rauskommt, wenn:

lim_{x \to 0} 0^{x}

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