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Exponentialfunktion mit linearer Funktion

Schüler Fachgymnasium,

Tags: Exponentialfunktion, Linear Funktion, zusammengesetzt

flashjung aktiv_icon

15:44 Uhr, 29.11.2012

Hallo,

ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe.
Die Aufgabe ist es eine Tangente am Punkt

t = 6

der Exponentialfunktion

10 t \cdot e^{- 0,5 t}

zu bilden. (Hintergrund ist die Wirkung eines Medikaments, dass nach

t = 6

linear abgebaut wird.
Dazu sind 2 Gleichungen gegeben:
1.

f (t = 6) = g (t = 6)

2. f´(t=6) = g´(t=6) Daraus lässt sich die Steigung

m

berechnen, da bei der Ableitung von

g (t)

nur noch

m

übrig bleibt.

Also ist die erste Gleichung:
f´(t=6)=m; Ableitung

f (x) = e^{- 0,5 t} (- 5 t + 10)

e^{- 0,5 \cdot 6} (- 5 \cdot 6 + 10) = m = ~ - 0,996

Dann kann man über Gleichung

1 b

bestimmen:

10 \cdot 6 \cdot e^{- 0,5 \cdot 6} = - 0,996 \cdot 6 + b

0,996 \cdot 6 + 10 \cdot e^{- 0,5 \cdot 6} = b = ~ 6,47

Wenn ich nun die Funktion

g (x) = - 0,996 t + 6,47

plotte ist die Tangente an der falschen Stelle, da wahrscheinlich

b

falsch ist. Und meine Frage ist jetzt, wo der Fehler ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

15:57 Uhr, 29.11.2012

wenn

f (t) = 10 \cdot e^{- 0,5 t}

dann ist

f' (t) = - 5 \cdot e^{- 0,5 t}

(das wird mit der Kettenregel berechnet)

rechne also damit alles nochmal neu

Beispiel:

f' (6) = - 5 \cdot e^{- 3} \to

m = - \frac{5}{e^{3}}

usw...
ok?

flashjung aktiv_icon

15:59 Uhr, 29.11.2012

Sorry, ich habe was vergessen. Es muss

f (x) = 10 t \cdot e^{- 0,5 t}

lauten.
Habe es oben schon korrigiert.

flashjung aktiv_icon

16:08 Uhr, 29.11.2012

Findet nun irgendjemand meinen Fehler? Also die Steigung ist anscheinend richtig (sagt der GTR), aber

b

muss

8,961 . .

. sein.

flashjung aktiv_icon

16:13 Uhr, 29.11.2012

Hab meinen Fehler selbst gefunden. In der letzten Gleichung habe ich einmal

\cdot 6

vergessen.

rundblick aktiv_icon

16:17 Uhr, 29.11.2012

da kommt natürlich Freude auf: zuerst falsche Angaben
und dann auch noch "irgendjemand" drängeln..

\to

es ist nicht ratsam, zu früh mit Näherungen zu arbeiten

\to

du kannst den Fehler selbst suchen, wenn du richtig rechnest,
dann bekommst du für die Tangente diese Gleichung:

g (t) = \frac{180 - 20 \cdot t}{e^{3}}

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