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Exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse

Schüler Gymnasium,

Tags: Exponentialfunktion, Zerfallsfaktor

Feriha aktiv_icon

10:45 Uhr, 15.02.2015

Hallo,

Ich habe eine Frage zu der Aufgabe 1 im Bild.

Ich bin jetzt bei der

a)

und muss begründen, dass sich das durch eine Exponentialfunktion beschreiben lässt.

Dazu habe ich die Werte nach Pfeilrichtung durch den Wert vorher dividiert, also

\frac{71,27}{80}, \frac{63,5}{71,27}

usw. Der Zerfallsfaktor ist also

0,89

.

Ist meine Lösung richtig so? Und wenn ja, wie soll ich denn nun die Frage genau begründen? Muss ich noch etwas rechnen oder war's das?

Zu

b)

Ich muss ja die Bestandsfunktion

N (t) = 80 \cdot {0,89}^{t}

nehmen, aber woher weiß ich denn was

t

ist?

c)

Die Formel der Halbwertszeit ist

t = \frac{ln 2}{k}

.

Aber welcher Wert ist denn k? Ist das

0,462 t

d)

Bei der Aufgabe weiß ich nicht wie viel ein Viertel und doppelt so groß genau heißen soll? Also was für Zahlen?

e)

N (t) = 80 \cdot e^{- 0,462 \cdot 5} = 7,949

Ist das richtig so?

f)

Da weiß ich leider gar nicht wie ich vorgehen soll...

Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michael777 aktiv_icon

10:48 Uhr, 15.02.2015

ich sehe leider kein Bild

a)

wenn die Zeitabstände konstant sind, dann hast du den Zerfallsfaktor richtig bestimmt

b) t

ist die Zeit wie in der Aufgabe gegeben

(z . B

t

in Minuten, Stunden, Jahre)

c)

N (t) = 80 \cdot {0,89}^{t}

kannst du umformen:

N (t) = 80 \cdot e^{ln (0,89) \cdot t}

jetzt dürfte klar sein, was

k

ist

Feriha aktiv_icon

10:53 Uhr, 15.02.2015

Oh, das Bild war zu groß

Jetzt aber :-)

michael777 aktiv_icon

11:01 Uhr, 15.02.2015

a)

die Zeitabstände in der Tabelle sind konstant (jeweils

0,25

Jahre)
bei einer e-Funktion ist der Quotient benachbarter Massewerte konstant
das hast du ja bereits gezeigt

b)

der Zeitabstand ist nicht 1 Jahr sonder

0,25

Jahre

deshalb ist der Ansatz für die Zerfallsfunktion mit

t

in Jahren so.

N (t) = 80 \cdot {0,89}^{\frac{t}{0,25}}

rechne diese Funktion mal um in die Form

N (t) = N (0) \cdot e^{k \cdot t}

meine Antwort oben ist leider nicht richtig, da ich von Zeitabständen von einem Jahr ausgegangen bin, tatsächlich sind es aber

0,25

Jahre

Feriha aktiv_icon

11:09 Uhr, 15.02.2015

Als zu

b)

nochmal

Ich hab jetzt gerechnet

N (t) = 80 \cdot {0,89}^{t}

= 80 \cdot e^{ln 0 . 89 \cdot t}

t =

1Jahr

a = \frac{50,4}{80} = 0,63

N (t) = 80 \cdot e^{ln 0,89 \cdot 0,63}

Aber da kommt

74,3

raus und nicht der vorgegebene Lösungswert

N (t) = 80 \cdot e^{- 0,462 t}

Was hab ich falsch gemacht?

michael777 aktiv_icon

11:15 Uhr, 15.02.2015

der Zeitabstand in der Tabelle ist nicht 1 Jahr sondern nur ein viertel Jahr

deshalb ist der Ansatzt

N (t) = 80 \cdot {0,89}^{\frac{t}{0,25}} = 80 \cdot {0,89}^{4 \cdot t}

d . h

. um den Zerfall in einem Jahr zu berechnen musst du viermal mit dem Wachstumsfaktor von

0,89

multiplizieren

N (t) = 80 \cdot {(e^{ln (0,89)})}^{4 \cdot t} = 80 \cdot e^{4 \cdot ln (0,89) \cdot t} = 80 \cdot e^{- 0,466 t}

k

ist damit

- 0,466

(kleiner Rundungsfehler im Vergleich zur vorgegebenen Lösung, vielleicht hatten die einen etwas anderen Zerfallsfaktor)

michael777 aktiv_icon

11:21 Uhr, 15.02.2015

c)

Halbwertszeit mit der von dir ganz oben genannten Formel

d)

ein Viertel der Masse:

N (t) = \frac{1}{4} \cdot N (0)

\frac{1}{4} \cdot N (0) = N (0) \cdot e^{- 0,462 \cdot t}

Gleichung durch den Anfangswert

N (0)

dividieren, die Zeit ist also unabhängig von der Anfangsmenge
ohne Rechnung:

\frac{1}{4}

entspricht 2 Halbwertszeiten
also nach 2 Halbwertszeiten hat man noch ein Viertel der Ausgangsmenge

doppelte Masse:

N (t) = 2 \cdot N (0)

2 \cdot N (0) = N (0) \cdot e^{- 0,462 \cdot t}

auch hier fällt

N (0)

raus
dann nach

t

auflösen

t

ist negativ, das heißt die doppelte Menge hatte man vor dem Beobachtungszeitpunkt, der

t = 0

entspricht
ohne Rechnung:
2 entspricht eine Halbwertszeit früher
also eine Halbwertszeit vor dem Beobachtungszeitpunkt

(t = 0)

hatte man die doppelte Menge

e)

hier ist

t = 5

einsetzen und

N (5)

ausrechnen

f)

hier ist

N (t) = 1,

gesucht ist die Zeit

t

also

1 = 80 \cdot e^{- 0,462 \cdot t}

durch

80

dividieren
dann logarithmieren (mit

ln)

und nach

t

auflösen

Feriha aktiv_icon

11:29 Uhr, 15.02.2015

Danke für deine schnelle Hilfe erstmal :-)

Aber bevor ich zu

c)

etc komme, will ich nochmal was zu

b)

fragen

Und zwar hab ich das jz genauso wie du gerechnet, aber bei mir kommt

50,2

raus? Ich berstehe nicht warum.. ich hab aber für

t

nichts eingesetzt, also einach die Rechnung von die, trotzdem ist das Ergebnis falsch bei mir

michael777 aktiv_icon

11:34 Uhr, 15.02.2015

ich habe mir jetzt mal alle 4 Zerfallsfaktoren berechnet

gerundet betragen alle

0,891

damit ist dann

k = 4 \cdot ln (0,891) = - 0,462

also genau der gleiche Wert wie in der vorgegebenen Lösung

das ist nur ein Rundungsfehler und bei e-Funktionen wirkt sich eine Nachkommastellen beim Faktor

k

oft deutlich aus

Feriha aktiv_icon

18:01 Uhr, 15.02.2015

Ich habe es geschafft, Danke! :-)

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