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Exponentielles Wachstum

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Exponentialfunktion, Exponentielles Wachstum

Milkshake aktiv_icon

20:03 Uhr, 30.09.2010

Hallo :-)
Ich habe eine Frage zu exponential Funktionen. Die Aufgabe:

E-Coli-Bakterien verdoppel sich alle 20min.
Berechne die Anzahl der E-Coli-Bakterien nach

3 (5,10)

Stunden, wenn anfangs 5 Millionen Bakterien in einer Lösung vorhanden sind.

Nun war meine erste Idee eine Regression mit dem graphischen Taschenrechner. Das Ergebnis stimmte allerdings nicht mit meinen Überlegungen überein:

Der GTR "sagt":

y = a \cdot b^{x}

a = 5000000

b = 1,035264924

Die Formel würde also lauten: 5oooooo

\cdot {1,035264924}^{x}

Die Ergebnisse stimmen dann allerdings nicht mit denen überein, die ich per Hand errechnet hab.

Wie würdet ihr die Aufgabe lösen?

Viele Grüße und schon im Voraus danke für eure Hilfe,

Milkshake :-D)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

kalli

20:08 Uhr, 30.09.2010

f (x) = 5

Mio

\cdot 2^{x},

wobei

x \in 20

Minutenschritten läuft. Du musst also für

x = 3

einsetzen, wenn DU den Bestand nach

1 h

haben möchtest. dass kannst Du natürlich noch umrechnen, so dass Du für

x

Minuten direkt oder Stunden direkt für

x

einsetzen kannst.

LG

Milkshake aktiv_icon

20:10 Uhr, 30.09.2010

Danke für die Superschnelle Antwort :-)

Nun hab ich aber noch ein Frage:
Wie kann ich denn die Formel so umstellen das ich für "x" minuten einsetzen kann?

LG Milkshake

kalli

20:22 Uhr, 30.09.2010

Du suchst ein

b,

für das gilt:

b^{20} = 2

.
Dann kannst Du die 2 duch

b^{20}

ersetzen und es gilt dann

f (x) = b^{x}

. Wenn Du jetzt

20

einsetzt, hat sich das ganze verdoppelt und es passt.

b

bestimmst Du nun über den Logarithmus.

Milkshake aktiv_icon

20:25 Uhr, 30.09.2010

Sorry, aber das kapier ich nicht. Und wir haben uns noch nicht mit Logarithmen befasst.
Kannst du es mir Schritt für Schritt erklären wie du daruf kommst?

kalli

20:40 Uhr, 30.09.2010

Mit den Potenzregeln gilt:

{(b^{20})}^{x} = b^{20 x}

Wenn Du also ein

b

findest, für dass gilt

b^{20} = 2,

so kannst Du dies in die FUnktion von vorhin einsetzen und du erhälst die Funktion, in der beim Argument

20

eine Verdopplung stattfindet. Du kannst dann

20 x

durch eine andere Variable ersetzen. Diese hat dann die Einheit Minuten.

Beim Logarithmus hab ich mich vertan. Du musst natürlich die 20te Wurzel ziehen.

b = \sqrt[20]{2}

Milkshake aktiv_icon

21:49 Uhr, 30.09.2010

Vielen Dank für die super Erklärung! :-)

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