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Extremstellen Sinusfunktion Kurvenschar

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Class Pad 300, Extremstellen, Kurvenschar, Sinusfunktion

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16:53 Uhr, 29.03.2009

[

das hat eben leider nicht geklappt, daher nochmal ;-)]
Hallo, ich bearbeite gerade einen Teil einer Abituraufgabe (zwecks Abiturvorbereitung für erhöhtes Niveau)und hake da gerade etwas, ich hoffe, hier kann mir jemand helfen...!?

Die Aufgabe:
Gegeben ist die Fuktionenschar

f k

durch

: f k (x) = k \cdot x + sin (x)

mit

0 \frac{<}{=} k \frac{<}{=} 2

und

0 \frac{<}{=} x \leq 2 \cdot π

a)

Weisen sie für

k = 0,5

algebraisch die Extrempunkte des Graphen von

f 0,5

nach.
Außerdem:
Klassifizieren Sie für

0 \frac{<}{=} k \frac{<}{=} 2

die Graphen der Schar nach der Anzahl ihrer Extrempunkte.

Die 1. Ableitung habe ich bestimmt:

f 0,5 (x) = cos (x) + 0,5

Die 2. Ableitung:

f 0,5 (x) = - sin (x)

Um die

[

eventuellen] Extremstellen herauszubekommen habe ich die 1. Ableitung gleich Null gesetzt:

0 = cos (x) + 0,5

Diese Gleichung möchte ich mit dem Taschenrechner lösen, ich benutze den Casio Classpad

300 . .

.
Als Ergebnisse bekomme ich damit:

x = 2 \cdot π

*constn(1)-((2*

π \frac{)}{3})

sowie

x = 2 \cdot π

*constn(2)+((2*pi)/(3))

Und da ist das Problem... ich kann mit den Ausdrücken nichts anfangen... Laut Internet (Casio direkt) sind sowohl "constn(1)" als auch "constn(2)" "ganzzahlige Konstanten", mehr wird da aber nicht gesagt. Dann habe ich herausgefunden, dass dieses "constn" dafür verwendet wird deutlich zu machen, dass es ja ein periodischer Vorgang ist. Allerdings habe ich nicht verstanden wie ich von diesem Ansatz dann zu der geforderten Lösung komme...

Lösung lt. nds. Kultusministerium:

x = \frac{2 \cdot π}{3}

sowie

x = \frac{4 \cdot π}{3}

Und dann verstehe ich den Operator "Klassifizieren" nicht genau... ist damit einfach "nur" gemeint, die Extremstellen, etc. in Abhängigkeit von

k

zu bestimmen?

Es wäre klasse, wenn es hier jemanden gäbe, der mir helfen kann... :-)
LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Sinus- und Kosinusfunktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

cry-wolf aktiv_icon

17:26 Uhr, 29.03.2009

hallo... bei mir ist bei

cos (x) + 0,5 = 0

x

zunächst

\frac{2}{3}

pie... (vergleich mit deinem ergebnis) da es ne cosinus funktion ist, ist die zweite lösung

- \frac{2}{3}

pie bzw wenn man die ergebnisse positiv ausdrücken möchte,

- \frac{2}{3}

pie +2pie (da die

cos

funktion periodisch ist, mit der periode 2pi)... dann kommt als zweites ergebnis

\frac{4}{3}

pie

lue-ne aktiv_icon

21:47 Uhr, 29.03.2009

Vielen Dank für die Antwort! Aber wie genau bekommst du diese Ergebnisse?
Also ich habe die Gleichung ja wie gesagt mit dem Classpad

300

gelöst und bekomme diesen Term um "constn" etc. und weiß damit leider nichts anzufangen...
Hat da vielleicht noch jemand eine Idee? Ich muss mit dem Taschenrechner ja auch mein Abi schreiben...
Wenn ich das "von Hand" auflöse, also mit arc

cos (- 0,5)

bekomme ich für

x = \frac{2 \cdot π}{3} . .

. aber dann verstehe ich nicht ganz wie ich auf

\frac{4 \cdot π}{3}

komme?

: (

MBler07 aktiv_icon

21:55 Uhr, 29.03.2009

Hi

constn(1) steht für Konstante 1. Da trigo Fkt periodisch sind, gibt es immer unendlich viele Lsg. Diese werden durch den Summanden

2 k π

ausgedrückt. Dabei bedeuten

k \in ℕ :

wievielte Lösung

2 π :

Periode der Funktion.
Das was danach kommt ist der Wert der Lösung, welche am nächsten bei Null liegt.

für

k_{1} = 1

gilt:

2 \cdot π \cdot 1 - \frac{2}{3} π = \frac{6}{3} π - \frac{2}{3} π = \frac{4}{3} π

Jetzt klar?

Übrigens:
Lösungen des Kultusministeriums würde ich nicht absolut vertrauen. Die können ja noch nicht mal Aufgaben richtig stellen...

Grüße

lue-ne aktiv_icon

09:41 Uhr, 30.03.2009

Ich dachte eigentlich ich hätte geantwortet... vielleicht sollte ich das nochmal üben ;-)

Vielen Dank für die schnelle und verständliche Antwort

!!

Das habe ich jetzt verstanden !
Kann mir jetzt zufällig noch jemand sagen, ob ich mit meiner Vermutung bzgl. des Klassifizierens richtig liege? Also, dass ich die Schar in Abhängigkeit von

k

durchdiskutieren/untersuchen muss?

LG

MBler07 aktiv_icon

11:50 Uhr, 30.03.2009

"vielleicht sollte ich das nochmal üben"
Klasse Idee. Schau mal unter "offene Fragen". Da gibts

i . N

. jede Menge Möglichkeiten.

"Also, dass ich die Schar in Abhängigkeit von

k

durchdiskutieren/untersuchen muss"
Geht in die richtige Richtung. Statt "Klassifizieren" könnte man auch "Einteilen" sagen. Am Ende sollte dann sowas rauskommen:

0 Extrema für

a < k < b

1 Extrema für

b \leq h < c

2 Extrema für...
Nur als Beispiel! Hat keinen (gewollten) Zusammenhang mit der Aufgabe.

iglg18 aktiv_icon

12:25 Uhr, 30.03.2009

Hi lue-ne, ich glaube, das ist so gemeint :

Klassifizieren heißt ja "in Klassen einteilen/eingruppieren".

D . h

. : Abhängig von

k

wird die Funktion unterschiedliche Anzahlen von Extrema haben.
Wenn Du Dir die Lösung mit diesem Hinweis selbst erarbeiten möchtest, lies jetzt nicht weiter, sondern spiele mit dem Classpad und lasse Dir die Ableitung mal mit verschiedenen Werten für

k

zeichnen.

Wenn Du nicht weiterkommst, lies nach dem STRICH weiter.

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}

Wenn ich mir Deine 1. Ableitung ansehe (und die ist ja richtig..)

und die zur Ermittlung der Extremstellen gleich 0 setze, sind also Lösungen für die Gleichung

cos (x) + k = 0

zu bestimmen.

Der erste Summand ist ja eine normale Cosinusfunktion, deren Werte sich sinusförmig periodisch zwischen

- 1

und 1 verändern.
Die Nullstellen dieser Funktion (und damit evt. Extremstellen der Ausgangsfunktion) liegen also bei

\frac{π}{2} + n \cdot π,

mit

n

als Ganzzahl zwischen - unendlich und unendlich.
In diesem Bereich hat die Cosinusfunktion also 2 Nullstellen je Periode.

Die konstante

k

ist jetzt quasi ein Offset, der auf die Cos-Werte addiert wird, das heißt

k

verschiebt die Kurve parallel zur X-Achse.

Solange die Verschiebung kleiner als

1

in negative oder positive Richtung ist, ändert sich an der Zahl der Nullstellen/Extema nichts: Die Funktion schneidet die X-Achse zwei mal je Periode.

Wird

k > 1

oder

< 1,

ist die Kurve so verschoben, dass der Graph die x-Achse nicht mehr schneidet. Also hat die 1. Ableitung keine Nullstellen und die Ausgangsfunktion keine Extremstelle.

Für

k = 1

oder

k = - 1

wird die Cosinusfunktion so verschoben, dass Sie keine Schnittpunkte mehr, sondern je Periode nur noch einen gemeinsamen Berührungspunkt (x-Achse ist Tangente) mit der X-Achse hat.

Klassifizierung für Anzahl der Extrema heißt also :

- 1 < k < 1 : 2

Extrema je Periode

k = 1

oder

k = - 1 : 1

Extremum je Periode

k < - 1

und

k > 1 :

Kein Extremum.

Zur Verdeutlichung schau Dir mal die Zeichnung an.:-)

Liebe Grüße

lue-ne aktiv_icon

13:54 Uhr, 31.03.2009

Vielen Dank für die Hilfe

!!

:-)

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