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Extremstellen beweisen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Beweis, Extremstellen, Grad 2

DieKrabbe aktiv_icon

16:36 Uhr, 26.02.2009

Hallo ihr lieben!
Habe mal eine Frage...Und zwar lautete die Aufgabe:

Beweise.
$a)$ Ist $f$ vom Grad $2,$ so hat $f$ genau eine Extremstelle.

Dazu dachte ich mir:
Damit eine Extremstelle überhaupt existiert, muss die 1. Ableitung mindestens eine Nullstelle haben:
$z . B$ . $f (x) = 3 x^{2} - 7$
f´(x)= $6 x$
$0 = 6 x$
$x = 0$
Nun muss ja als hinreichende Bedingung die 2. Ableitung ungleich Null sein für $x .$
$f$ $(x) = 6$
Man setzt $x = 0$ in die 2.Ableitung ein und erhält logischerweise F´´(x)=6 raus, also ungleich Null.

Nun hat man bewiesen, dass es sich bei $x = 0$ um eine Extremstelle handelt.

Sooo...meine FRAGE dazu allerdings..jetzt habe ich zwar bewiesen dass es sich bei $x = 0$ um eine Extremstelle handelt, aber ich habe NICHT bewiesen, WIESO eine Funktion zweiten Grades genau nur EINE Extremstelle haben kann $: S$

Wer kann mir da weiterhelfen???
Vielen Dank schonmal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

kleea

16:56 Uhr, 26.02.2009

Hallo,
ich kann dir zwar glaube ich nicht

100 %

sicher erklären warum, eine Funktion 2. Grades nur eine Extremstelle haben kann, aber ich kann dir sagen, das eine Parabel nur 2 Nullstellen haben kann, und eine Funktion 3. Grades 3. Das kann man immer am Exponenten fest machen!!!
Außerdem kann ich sagen, dass du, wenn du eine Quadratische Funktion ableitest und diese gleich 0 setzt, immer nur ein Ergebnis herausbekommst, welches dann auch noch darauf schließen lässt, dass du nur einen Extremwert hast.
Mehr glaube ich, kann ich dazu nicht sagen, sry!
Kleea

Akonia

17:05 Uhr, 26.02.2009

hier noch etwas mathematischer:

f (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c

a darf nicht 0 sein (sonst wärs keine funktion 2ten grades)

die ableitung lautet also:

f' (x) = 2 \cdot a \cdot x + b

wegen extremwert gleich 0 setzen:

2 \cdot a \cdot x + b = 0

x = \frac{- b}{2 \cdot a}

es gibt also genau EINEN extremwert für eine funktion 2ten grades (dieser bruch wäre nur bei

2 a = 0

nicht definiert, allerdings wurde

a = 0

bereits ausgeschlossen).

es handelt sich um ein extremum, da die zweite ableitung nicht 0 ist:

f'' (x) = 2 \cdot a

(da

a \neq 0 \to 2 a \neq 0)

DieKrabbe aktiv_icon

17:27 Uhr, 26.02.2009

Ahhhhhh :) Wenn man das ganze mit Variablen ausdrückt, ist es gleich viel allgemeingültiger!Ich tu mich manchmal nur etwas schwer damit...

Aber vielen vielen lieben Dank!

Bin jedoch soeben am Aufgabenteil b) etwas hängen geblieben... Diesmal ist es jedoch noch "allgemeiner".

Die Aufgabe lautet:

Wenn der Grad von f gerade ist, so hat f mindestens eine Extremstelle.

Meine Frage dazu: ist $x^{0}$ nicht auch eine Gerade Zahl? Aber f´(X) = 0 (also gleich die x Achse) hat doch keine Extremstellen oder??

Also bin leicht verwirrt. Vorallem weiß ich nicht wie ich das ganze in allgemeingültiger Form angeben soll....

DieKrabbe aktiv_icon

19:34 Uhr, 26.02.2009

kann mir denn da niemand weiterhelfen?? weil ich komme da echt nicht weiter :(

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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