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Extremstellen von Wurzelfunktionen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Beweis, Extrema, Extremstellen, Wurzelfunktion

floechen aktiv_icon

20:41 Uhr, 15.05.2009

Hallo zusammen!

Ich würde gerne beweisen, warum das Quadrat einer Wurzelfunktion die gleichen Extremstellen hat wie die Wurzelfunktion selbst. (zb.

x^{2} + 3 & \sqrt{x^{2} + 3})

Von einer schlauen Person habe ich folgenden Ansatz bekommen:

f (x)

sei eine Wurzelfunktion.

g (x) =

(f(x))²

g' (x) = 2 \cdot f (x) \cdot f' (x)

g'' (x) =

2*(f'(x))²

+ 2 \cdot f (x) \cdot f'' (x)

Ich habe das ganze auch schon an einem Beispiel ausprobiert. Klappt alles.
Leider ist mir noch nicht ganz klar warum

f' (x)

für

g' (x)

automatisch null ist (notwendiges Kriterium). Auch sehe ich nicht, wie die 2. Ableitung von

g (x)

ungleich null ist (hinreichendes Kriterium).
Ich glaube, ich habe irgendwo einen Denkfehler, aber ich komme partout nicht darauf.

Vielen Dank für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)
Wurzelfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Cauchy09

22:03 Uhr, 15.05.2009

g (x) = {(f (x))}^{2}

g' (x) = 2 \cdot f (x) \cdot f' (x)

wenn

f' (x) = 0

dann ist auch:

g' (x) = 2 \cdot f (x) \cdot 0 = 0

g'' (x) = 2 \cdot f' (x) \cdot f' (x) + 2 \cdot f (x) \cdot f'' (x)

wenn

f' (x) = 0

und

f'' (x) < > 0

dann ist:

g'' (x) = 2 \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot f (x) \cdot f'' (x) = 2 \cdot f (x) \cdot f'' (x)

und das ist ungleich

0,

wenn

f (x) < > 0

ist

Wenn

f

eine Extremstelle mit

f (x) = 0

hat, dann hat

g (x)

dort ein Minimum.

floechen aktiv_icon

14:38 Uhr, 16.05.2009

ok super. Vielen dank, dass verstehe ich soweit!

Nur der letzte Satz ist mir noch nicht ganz klar.
Warum genau hat

g (x)

ein Minimum wo eine Extremstelle

f (x) = 0

vorliegt?

anonymous

09:04 Uhr, 19.05.2009

Hallo,
schau dir mal genau an, was für diesen Fall mit der zweiten Ableitung

g'' (x)

passiert.
Gruß, Diophant

floechen aktiv_icon

14:17 Uhr, 19.05.2009

hmm ich dachte, wenn

f (x) = 0

ist, dann ist

g'' (x)

auch null.

g''(x)=2⋅0⋅0+2⋅0⋅f''(x)

= 0

?

Deswegen sehe ich grad nicht wirklich wie

g'' (x) > 0

wird.

Aber bestimmt habe ich da wieder etwas übersehen.

Nochmals vielen Dank für die Mühe.

Gruß!

anonymous

08:03 Uhr, 20.05.2009

Hallo,

da war ich etwas zu vorschnell. Hier zeigt sich mal wieder, dass Halbwissen gefährlich ist :-)

In der Schule lernt man,

f'' (x) > 0

sei hinreichend für ein Minimum. Das ist ja nun auch nicht falsch, es ist nur nicht alles. In Wirklichkeit muss für eine Funktion aus

C^{2 n}

einfach nur eine beliebige geradzahlige Ableitung an der betreffenden Stelle positiv werden. In diesem Fall hier wird das die vierte Ableitung sein. Um nicht übermäßig angeben zu wollen: ich habe das mit einem CAS gerechnet :-P)

Gruß, Diophant

floechen aktiv_icon

00:27 Uhr, 21.05.2009

Super, wieder etwas dazugelernt ;-)

Ich habe mal die 4. Ableitung gebildet und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:

g'''' (x) = 6 \cdot f'' (x) \cdot f'' (x) + 8 \cdot f' (x) \cdot f''' (x) + 2 \cdot f (x) \cdot f'''' (x)

f' (x)

und

f (x)

null sind, werden die hinteren beiden Produkte null.

{(f'' (x))}^{2}

ist immer größer null.

Hätte ich damit quasi gezeigt, dass

g (x)

ein Minimum hat, wo eine Extremstelle

f (x) = 0

vorliegt?

m-at-he

03:49 Uhr, 21.05.2009

Hallo,

ich verstehe irgendwie die ganze Diskussion hier mit den Ableitungen nicht. Dir Wurzelfunktion ist eine streng monoton wachsende Funktion, bei der gilt:

f (h (x_{1})) > f (h (x_{2})) \Leftrightarrow h (x_{1}) > h (x_{2})

Da die Wurzelfunktion keine negativen Werte liefert gilt folglich:

{(f (h (x_{1})))}^{2} > {(f (h (x_{2})))}^{2} \Leftrightarrow h (x_{1}) > h (x_{2})

bzw. in Eurere Notation

g = f^{2} :

g (h (x_{1})) > g (h (x_{2})) \Leftrightarrow h (x_{1}) > h (x_{2})

Für eine lokale Maximumstelle

x_{1}

der Funktion

f

gilt, daß

f (h (x_{1})) > f (h (x_{2}))

für alle

h (x_{2})

in einer gewissen Umgebung von

h (x_{1})

und deshalb gilt für alle

h (x_{2})

aus dieser Umgebung auch

h (x_{1}) > h (x_{2})

und folglich auch

g (h (x_{1})) > g (h (x_{2}))

und damit ist

h (x_{1})

lokales Maximum von

g

. Umgekehrt beweist man analog, daß aus

h (x_{1})

ist lokales Maximum von

g

folgt, daß

h (x_{1})

auch lokales Maximum von

f

ist. somit gilt:

h (x_{1})

ist lokales Maximum von

f \Leftrightarrow h (x_{1})

ist lokales Maximum von

g

Analog beweist man, daß gilt:

h (x_{1})

ist lokales Minimum von

f \Leftrightarrow h (x_{1})

ist lokales Minimum von

g

anonymous

07:57 Uhr, 21.05.2009

Hallo,

@m-at-he:
Der Themenstarter sah ja einen Widerspruch in der Tatsache, dass für das Minimum einer Funktion

f'' (x_{0}) = 0

gilt. Ob beabsichtigt oder nicht: die meisten Schüler verstehen das mit der hinreichenden Bedingung bei Extrempunkten so, dass

f''

zingend kleiner bzw. größer Null sein muss. Also gilt es

m . A

. nach bei solchen Gelegenheiten, auf den wirklichen Sachverhalt aufmerksam zu machen.

Gruß, Diophant

m-at-he

09:54 Uhr, 21.05.2009

Hallo Diophant,

das ging nicht gegen Dich und Deinen korrekten Einwurf, die Ableitungen sind ja bereits vom Fragesteller ins Spiel gebracht worden. Es ging mir nur darum, sich das Leben nicht unnötig schwer zu machen. Mittels der strengen Monotonie kann man beweisen, daß Wurzelfunktion und das Quadrat davon Extremstellen gleicher Art an der selben Stelle haben. Daß dann die notwendigen Bedingungen erfüllt sind, ist klar und damit ergibt sich sowohl

f (x) = 0

als auch

g (x) = 0

an den selben Stellen.

anonymous

11:05 Uhr, 21.05.2009

Hallo,

@m-at-he:
ich habe das auch nicht so verstanden :-).

Mir ist es nur wichtig, wo es geht, diese unzureichenden Kenntnisse über mittels Ableitungen formulierte hinreichende Bedingungen zu ergänzen.

Hier ist mit Sicherheit der von dir vorgeschlagene Weg der bessere und auch der übliche.

Gruß, Diophant

floechen aktiv_icon

11:42 Uhr, 21.05.2009

Hallo,

ich hatte mir schon vorher Hilfe geholt bezüglich meiner Fragestellung oben und bin dabei auf den Weg mit den Ableitungen gestoßen.

Dass das ganze über das streng monotone Verhalten der Wurzelfunktion besser zu beweisen ist, war mir nicht klar.

Deshalb nochmals vielen Dank für eure Hilfe!

Gruß

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