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Extremwertaufgabe Dachrinne mit Winkel

Schüler

Tags: Differentialrechnung, Extremwertaufgabe, Winkel

anonymous

23:14 Uhr, 06.02.2014

Hallo!
Ich suche seit gestern nach einer Lösung dieser Aufgabe, jedoch komme ich nicht darauf.

Aus 2 Brettern der Breite $b$ soll eine Regenrinne von maximalem Querschnitt gebaut werden. Wie groß soll der Neigungswinkel $γ$ sein?

Da es sich um ein gleichschenkeliges Dreieck handelt, ist die HB:

$A (a, h) = \frac{b \cdot h}{2}$

Jetzt muss man ja daraus $A (γ)$ formen, also die Variablen durch den Winkel ausdrücken, oder??

Da hab ich: $cos (γ) = \frac{a}{b} (a$ ist die halbe Grundseite) $\to b = \frac{a}{cos (γ)}$
$tan (γ) = \frac{h}{a} \to h = a \cdot tan (γ)$

Dann eingesetzt: $A (γ) = \frac{a^{2} \cdot tan}{2 \cdot cos}$

Man kann ja den konstanten Faktor weglassen und tan mit $\frac{sin}{cos}$ ersetzen:

$A (γ) = \frac{sin}{{cos}^{2}}$

Wenn ich das dann ableite und null setze, komme ich auf $cos = \sqrt{2}$ und das geht ja nicht...

Vielen Dank!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Winkel - Einführung
Winkelberechnungen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

23:27 Uhr, 06.02.2014

.
wenn du die Fläche deines Dreiecks mit dem roten Winkel $γ$ berechnen willst
(Höhe $\to b \cdot sin (γ) .$ . zugehörige Grundseite $\to 2 \cdot b \cdot cos (γ))$

dann sieht das doch so aus $\to$

$A (γ) = b^{2} \cdot [sin (γ) \cdot cos (γ)] = \frac{1}{2} \cdot b^{2} \cdot sin (2 \cdot γ)$

$\to$ überlege, warum

und wie findest du nun heraus,
für welchen Winkel $γ$ dieses $A (γ)$ extremal wird?

? $\to ...$ .

Ma-Ma aktiv_icon

23:42 Uhr, 06.02.2014

Meiner Meinung sollte man über den INNENwinkel zwischen der 2 Brettern gehen $. .$ . $(max$ . Querschnitt der Rinne ist gesucht.)

allgemein:
$A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin γ$

Hier: Ich nehme als Innenwinkel mal $α$ . und $b$ ist konstant.

$A = \frac{1}{2} \cdot b^{2} \cdot sin α$
$A' = \frac{1}{2} \cdot b^{2} \cdot cos α$

$0 = \frac{1}{2} \cdot b^{2} \cdot cos α$ .

$α = ... ... . .$ . ?

Die restlichen Winkel finden sich.

$- - - - - - - - - -$
Nachtrag: Ich sehe, Du hast oben noch ergänzt $. .$ .

rundblick aktiv_icon

23:47 Uhr, 06.02.2014

"
Meiner Meinung ..
"
$\to$
prima, wenn frau überhaupt eine eigene Meinung hat ..
aber:...-> schau dir halt die Figur nochmal genau an, MaMa

Ma-Ma aktiv_icon

23:52 Uhr, 06.02.2014

JA, ich weiß $. .$ . den Winkel $γ$ muss man anschließend noch durch "schwierige" Rechenoperationen ermitteln $...$ .

rundblick aktiv_icon

23:56 Uhr, 06.02.2014

"
"schwierige" RechenOperationen
"
$\to$
du sagst es ..
er ist halt am Schluss halb so gross wie dein $α$ und deshalb
doppelt so schwer zu operieren ..

anonymous

00:05 Uhr, 07.02.2014

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Ja, das leuchtet mir ein. Also ist die Hauptbedingung, falls ich es richtig verstanden habe:

$A = \frac{c}{2} \cdot h$

Und du beziehst dich auf den Winkel im Dreieck, den rechts oben, oder? (Z-Winkel)

Wieso kann man diese Aufgabe nicht mit der anderen Dreiecksformel berechnen, also $A = \frac{b \cdot h}{2}$ ?

anonymous

00:08 Uhr, 07.02.2014

Wenn ich diese Aufgabe mit dem Innenwinkel $α$ berechne, bekomme ich dann den Neigungswinkel $γ$ so:

$α = 180 - 2 γ \to γ = \frac{180 - α}{2},$ oder?

Danke!

Ma-Ma aktiv_icon

00:15 Uhr, 07.02.2014

Winkel IM Dreieck ist der Winkel UNTEN zwischen den Brettern !

Wenn Du in Deine Formelsammlung (Berechnungen an Dreiecken) schaust, so findest Du die Formel

Flächeninhalt $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin γ$ .
Daneben ist auch eine Skizze ! Diese solltest Du Dir schon anschauen $!!!$

$(. .$ . oder bei Tante Wiki.)

$- - - - -$
Somit ergibt sich hier für uns
$A (α) = \frac{1}{2} \cdot b^{2} \cdot sin α$

Ableiten und dann Null setzen.

$- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -$
Deine Wunschformel $A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$ geht natürlich auch, ist nur wesentlich schwieriger $. .$ .

Sofern es nicht zwingend vorgegeben ist, bevorzuge ich den kurzen, einfachen und schnellen Weg.

LG Ma-Ma

anonymous

00:21 Uhr, 07.02.2014

Mir kommt jetzt für den Innenwinkel $α = 90$ Grad raus, und für Neigungswinkel $γ = 45$ Grad, stimmt laut meinem Lösungsbuch...

Wieso stimmt diese Berechnung nicht? $γ$ ist der rote Winkel in der Skizze, auf der linken Seite ist ebenfalls $γ$ und zwischen $γ$ und $γ$ ist ja Innenwinkel $α . .$ .

$2 γ + α$ sollte ja $180$ Grad ergeben...

Wenn man $γ$ als den Winkel im Dreieck betrachtet, ist es ja dann dasselbe. Im Dreieck gilt, alle Winkel sollen $180$ Grad sein. Und da die Winkel links oben und rechts oben gleich groß sind...

Ma-Ma aktiv_icon

00:22 Uhr, 07.02.2014

$- - - - - - - - - - - - - - - - - - -$
Schau auch mal hier (auf Seite $2) :$
http//www.mathesite.de/pdf/trigo1.pdf
$- - - - - - - - - - - - - - - - - -$

Ma-Ma aktiv_icon

00:28 Uhr, 07.02.2014

Deine Rechnung:
$A = \frac{sin γ}{{cos}^{2} γ}$

Was hast Du als Ableitung ? Quotientenregel genutzt ?

anonymous

00:32 Uhr, 07.02.2014

Wie würde es mit der Formel $A = \frac{b \cdot h}{2}$ funktionieren? Bräuchte nur einen Ansatz bzw. Denkanstoß, hab für diese Aufgabe schon $3 A 4$ Blätter verschwendet, jetzt will ich's auch richtig haben haha

$b$ ist ja konstant, also müsste man nur $h$ ersetzen?

rundblick aktiv_icon

00:32 Uhr, 07.02.2014

"
Deine Wunschformel $A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$ geht natürlich auch, ist nur wesentlich schwieriger .
"

@ MaMa:

$1)$ es ist $b$ im Beispiel schon "vergeben" als Brettbreite ; deshalb ist es wohl nicht
besonders geschickt bei deinem A die Grundseite mit $b$ zu taufen

es ist die Grundseite $\to g =$ 2⋅b⋅cos(γ)
und die zugehörige Höhe $\to h =$ b⋅sin(γ).
$\Rightarrow A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
$. .$ .
$\to$ siehe mein allererster Beitrag

$2)$ darüber, was "wesentlich" und schwieriger ist, kann man verschiedener Meinung sein-
die Fragestellerin hat wohl deine Flächenformel auch nicht unbedingt als besonders
bekannt registriert?

na ja..

Ma-Ma aktiv_icon

00:36 Uhr, 07.02.2014

@rundblick: $b =$ Brett ! Ich rechne überhaupt nicht mit der Grundseite !
Da hast Du Dich verguckt $... . .$ .

In meiner Formel gibt es nur $b =$ Brett und den einen Innenwinkel $α$ (unten in der Rinne) !

anonymous

00:39 Uhr, 07.02.2014

@MaMa

Ja, meine Ableitung:

(cos^3+2sin^2cos)/cos^4

Also (cos^2+2sin^2)/cos^3

@rundblick

Aso, das ist mein Fehler. Ich habe die allgemeine Flächenformel, und nicht die für ein gleichschenkeliges Dreieck genommen!! Die lautet ja $A = \frac{c \cdot h}{2}$

Ich dachte es sei $\frac{b \cdot h}{2},$ wobei $b$ die Bretter sind!

Entschuldigt diese Verwirrung, ich kenne mich aus, danke!!

rundblick aktiv_icon

00:41 Uhr, 07.02.2014

das Brett vor dem Kopf ..

MAMA:
falls du es nicht bemerkt hast:
ich beziehe mich nicht auf deinen Lösungsweg , sondern auf die Notierung der
Flächenformel $A = \frac{1}{2} g \cdot h .$ . (das hattest du doch als wesentlich schwieriger qualifiziert)

und da ist eben $g \neq b ... \to$ also NICHT $A = \frac{1}{2} b \cdot h -$ wie du schreibst

anonymous

00:43 Uhr, 07.02.2014

@rundblick

Das mit der falschen Formel war mein Fehler.
Ich schrieb ganz am Anfang $A = \frac{b \cdot h}{2}$

Ich habe erst jetzt bemerkt, dass es die falsche Formel ist!! Danke euch beiden!

rundblick aktiv_icon

00:49 Uhr, 07.02.2014

ok
- ich bin jetzt dann weg, aber
vorher noch : ich finde , dass $γ$ am Schluss 45° sein könnte und
MaMa's $α$ sieht dann doppelt so gross aus..

einverstanden?

anonymous

00:50 Uhr, 07.02.2014

Ja, das kommt mir raus und ich hab's verstanden, vielen Dank!

Atlantik aktiv_icon

14:11 Uhr, 07.02.2014

Ein anderer Ansatz:

$A (u, v) = u \cdot v$ soll maximal werden.

$b^{2} = u^{2} + v^{2} \to v^{2} = b^{2} - u^{2}$

$v = \sqrt{b^{2} - u^{2}}$

$A (u) = u \cdot \sqrt{b^{2} - u^{2}} = \sqrt{u^{2} \cdot b^{2} - u^{4}}$

$[\sqrt{u^{2} \cdot b^{2} - u^{4}}]$ ´ $= \frac{2 u \cdot b^{2} - 4 u^{3}}{2 \cdot \sqrt{u^{2} \cdot b^{2} - u^{4}}} = \frac{u \cdot b^{2} - 2 u^{3}}{\sqrt{u^{2} \cdot b^{2} - u^{4}}}$

$u \cdot b^{2} - 2 u^{3} = 0$

$u \cdot (b^{2} - 2 u^{2})$

$u_{1} = 0$

$u^{2} = \frac{b^{2}}{2}$

$u = \frac{b}{2} \cdot \sqrt{2}$

$v = \sqrt{b^{2} - \frac{b^{2}}{2}} = \sqrt{\frac{b^{2}}{2}} = \frac{b}{2} \cdot \sqrt{2}$

Es liegt ein Quadrat vor.

$tan (α) = \frac{\frac{b^{2}}{2}}{\frac{b^{2}}{2}} = 1$

${tan}^{- 1} (α) = 45$ °

mfG

Atlantik

$Z e i c h n u n g :$

Gwunderi aktiv_icon

15:39 Uhr, 07.02.2014

Es geht mit viel weniger Aufwand:

$A = s i n α \cdot b \cdot c o s α \cdot b$

Das b ist nur ein Proportionalitätsfaktor, kann man gleich weglassen.

$f (α) = s i n α \cdot c o s α$

soll maximal werden (Ableitung von f = 0)

$f ‘ (α) = (c o s α)^{2} - (s i n α)^{2} = 0$

$(c o s α)^{2} = (s i n α)^{2}$

$c o s α = s i n α$

$\frac{s i n α}{c o s α} = t g α = 1$

$α = 45 G r a d$

Der Neigungswinkel ist demnach auch 45 Grad.

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