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Extremwertaufgabe Dachrinne mit Winkel

Schüler

Tags: Differentialrechnung, Extremwertaufgabe, Winkel

anonymous

23:14 Uhr, 06.02.2014

Hallo!
Ich suche seit gestern nach einer Lösung dieser Aufgabe, jedoch komme ich nicht darauf.

Aus 2 Brettern der Breite

b

soll eine Regenrinne von maximalem Querschnitt gebaut werden. Wie groß soll der Neigungswinkel

γ

sein?

Da es sich um ein gleichschenkeliges Dreieck handelt, ist die HB:

A (a, h) = \frac{b \cdot h}{2}

Jetzt muss man ja daraus

A (γ)

formen, also die Variablen durch den Winkel ausdrücken, oder??

Da hab ich:

cos (γ) = \frac{a}{b} (a

ist die halbe Grundseite)

\to b = \frac{a}{cos (γ)}

tan (γ) = \frac{h}{a} \to h = a \cdot tan (γ)

Dann eingesetzt:

A (γ) = \frac{a^{2} \cdot tan}{2 \cdot cos}

Man kann ja den konstanten Faktor weglassen und tan mit

\frac{sin}{cos}

ersetzen:

A (γ) = \frac{sin}{{cos}^{2}}

Wenn ich das dann ableite und null setze, komme ich auf

cos = \sqrt{2}

und das geht ja nicht...

Vielen Dank!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Winkel - Einführung
Winkelberechnungen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

23:27 Uhr, 06.02.2014

.
wenn du die Fläche deines Dreiecks mit dem roten Winkel

γ

berechnen willst
(Höhe

\to b \cdot sin (γ) .

. zugehörige Grundseite

\to 2 \cdot b \cdot cos (γ))

dann sieht das doch so aus

\to

A (γ) = b^{2} \cdot [sin (γ) \cdot cos (γ)] = \frac{1}{2} \cdot b^{2} \cdot sin (2 \cdot γ)

\to

überlege, warum

und wie findest du nun heraus,
für welchen Winkel

γ

dieses

A (γ)

extremal wird?

?

\to ...

Ma-Ma aktiv_icon

23:42 Uhr, 06.02.2014

Meiner Meinung sollte man über den INNENwinkel zwischen der 2 Brettern gehen

. .

(max

. Querschnitt der Rinne ist gesucht.)

allgemein:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin γ

Hier: Ich nehme als Innenwinkel mal

α

. und

b

ist konstant.

A = \frac{1}{2} \cdot b^{2} \cdot sin α

A' = \frac{1}{2} \cdot b^{2} \cdot cos α

0 = \frac{1}{2} \cdot b^{2} \cdot cos α

α = ... ... . .

. ?

Die restlichen Winkel finden sich.

- - - - - - - - - -

Nachtrag: Ich sehe, Du hast oben noch ergänzt

. .

rundblick aktiv_icon

23:47 Uhr, 06.02.2014

"
Meiner Meinung ..
"

\to

prima, wenn frau überhaupt eine eigene Meinung hat ..
aber:...-> schau dir halt die Figur nochmal genau an, MaMa

Ma-Ma aktiv_icon

23:52 Uhr, 06.02.2014

JA, ich weiß

. .

. den Winkel

γ

muss man anschließend noch durch "schwierige" Rechenoperationen ermitteln

...

rundblick aktiv_icon

23:56 Uhr, 06.02.2014

"
"schwierige" RechenOperationen
"

\to

du sagst es ..
er ist halt am Schluss halb so gross wie dein

α

und deshalb
doppelt so schwer zu operieren ..

anonymous

00:05 Uhr, 07.02.2014

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Ja, das leuchtet mir ein. Also ist die Hauptbedingung, falls ich es richtig verstanden habe:

A = \frac{c}{2} \cdot h

Und du beziehst dich auf den Winkel im Dreieck, den rechts oben, oder? (Z-Winkel)

Wieso kann man diese Aufgabe nicht mit der anderen Dreiecksformel berechnen, also

A = \frac{b \cdot h}{2}

anonymous

00:08 Uhr, 07.02.2014

Wenn ich diese Aufgabe mit dem Innenwinkel

α

berechne, bekomme ich dann den Neigungswinkel

γ

so:

α = 180 - 2 γ \to γ = \frac{180 - α}{2},

oder?

Danke!

Ma-Ma aktiv_icon

00:15 Uhr, 07.02.2014

Winkel IM Dreieck ist der Winkel UNTEN zwischen den Brettern !

Wenn Du in Deine Formelsammlung (Berechnungen an Dreiecken) schaust, so findest Du die Formel

Flächeninhalt

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin γ

.
Daneben ist auch eine Skizze ! Diese solltest Du Dir schon anschauen

!!!

(. .

. oder bei Tante Wiki.)

- - - - -

Somit ergibt sich hier für uns

A (α) = \frac{1}{2} \cdot b^{2} \cdot sin α

Ableiten und dann Null setzen.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Deine Wunschformel

A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h

geht natürlich auch, ist nur wesentlich schwieriger

. .

.

Sofern es nicht zwingend vorgegeben ist, bevorzuge ich den kurzen, einfachen und schnellen Weg.

LG Ma-Ma

anonymous

00:21 Uhr, 07.02.2014

Mir kommt jetzt für den Innenwinkel

α = 90

Grad raus, und für Neigungswinkel

γ = 45

Grad, stimmt laut meinem Lösungsbuch...

Wieso stimmt diese Berechnung nicht?

γ

ist der rote Winkel in der Skizze, auf der linken Seite ist ebenfalls

γ

und zwischen

γ

und

γ

ist ja Innenwinkel

α . .

2 γ + α

sollte ja

180

Grad ergeben...

Wenn man

γ

als den Winkel im Dreieck betrachtet, ist es ja dann dasselbe. Im Dreieck gilt, alle Winkel sollen

180

Grad sein. Und da die Winkel links oben und rechts oben gleich groß sind...

Ma-Ma aktiv_icon

00:22 Uhr, 07.02.2014

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Schau auch mal hier (auf Seite

2) :

http//www.mathesite.de/pdf/trigo1.pdf

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Ma-Ma aktiv_icon

00:28 Uhr, 07.02.2014

Deine Rechnung:

A = \frac{sin γ}{{cos}^{2} γ}

Was hast Du als Ableitung ? Quotientenregel genutzt ?

anonymous

00:32 Uhr, 07.02.2014

Wie würde es mit der Formel

A = \frac{b \cdot h}{2}

funktionieren? Bräuchte nur einen Ansatz bzw. Denkanstoß, hab für diese Aufgabe schon

3 A 4

Blätter verschwendet, jetzt will ich's auch richtig haben haha

b

ist ja konstant, also müsste man nur

h

ersetzen?

rundblick aktiv_icon

00:32 Uhr, 07.02.2014

"
Deine Wunschformel

A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h

geht natürlich auch, ist nur wesentlich schwieriger .
"

@ MaMa:

1)

es ist

b

im Beispiel schon "vergeben" als Brettbreite ; deshalb ist es wohl nicht
besonders geschickt bei deinem A die Grundseite mit

b

zu taufen

es ist die Grundseite

\to g =

2⋅b⋅cos(γ)
und die zugehörige Höhe

\to h =

b⋅sin(γ).

\Rightarrow A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h

. .

\to

siehe mein allererster Beitrag

2)

darüber, was "wesentlich" und schwieriger ist, kann man verschiedener Meinung sein-
die Fragestellerin hat wohl deine Flächenformel auch nicht unbedingt als besonders
bekannt registriert?

na ja..

Ma-Ma aktiv_icon

00:36 Uhr, 07.02.2014

@rundblick:

b =

Brett ! Ich rechne überhaupt nicht mit der Grundseite !
Da hast Du Dich verguckt

... . .

.

In meiner Formel gibt es nur

b =

Brett und den einen Innenwinkel

α

(unten in der Rinne) !

anonymous

00:39 Uhr, 07.02.2014

@MaMa

Ja, meine Ableitung:

(cos^3+2sin^2cos)/cos^4

Also (cos^2+2sin^2)/cos^3

@rundblick

Aso, das ist mein Fehler. Ich habe die allgemeine Flächenformel, und nicht die für ein gleichschenkeliges Dreieck genommen!! Die lautet ja

A = \frac{c \cdot h}{2}

Ich dachte es sei

\frac{b \cdot h}{2},

wobei

b

die Bretter sind!

Entschuldigt diese Verwirrung, ich kenne mich aus, danke!!

rundblick aktiv_icon

00:41 Uhr, 07.02.2014

das Brett vor dem Kopf ..

MAMA:
falls du es nicht bemerkt hast:
ich beziehe mich nicht auf deinen Lösungsweg , sondern auf die Notierung der
Flächenformel

A = \frac{1}{2} g \cdot h .

. (das hattest du doch als wesentlich schwieriger qualifiziert)

und da ist eben

g \neq b ... \to

also NICHT

A = \frac{1}{2} b \cdot h -

wie du schreibst

anonymous

00:43 Uhr, 07.02.2014

@rundblick

Das mit der falschen Formel war mein Fehler.
Ich schrieb ganz am Anfang

A = \frac{b \cdot h}{2}

Ich habe erst jetzt bemerkt, dass es die falsche Formel ist!! Danke euch beiden!

rundblick aktiv_icon

00:49 Uhr, 07.02.2014

ok
- ich bin jetzt dann weg, aber
vorher noch : ich finde , dass

γ

am Schluss 45° sein könnte und
MaMa's

α

sieht dann doppelt so gross aus..

einverstanden?

anonymous

00:50 Uhr, 07.02.2014

Ja, das kommt mir raus und ich hab's verstanden, vielen Dank!

Atlantik aktiv_icon

14:11 Uhr, 07.02.2014

Ein anderer Ansatz:

A (u, v) = u \cdot v

soll maximal werden.

b^{2} = u^{2} + v^{2} \to v^{2} = b^{2} - u^{2}

v = \sqrt{b^{2} - u^{2}}

A (u) = u \cdot \sqrt{b^{2} - u^{2}} = \sqrt{u^{2} \cdot b^{2} - u^{4}}

[\sqrt{u^{2} \cdot b^{2} - u^{4}}]

= \frac{2 u \cdot b^{2} - 4 u^{3}}{2 \cdot \sqrt{u^{2} \cdot b^{2} - u^{4}}} = \frac{u \cdot b^{2} - 2 u^{3}}{\sqrt{u^{2} \cdot b^{2} - u^{4}}}

u \cdot b^{2} - 2 u^{3} = 0

u \cdot (b^{2} - 2 u^{2})

u_{1} = 0

u^{2} = \frac{b^{2}}{2}

u = \frac{b}{2} \cdot \sqrt{2}

v = \sqrt{b^{2} - \frac{b^{2}}{2}} = \sqrt{\frac{b^{2}}{2}} = \frac{b}{2} \cdot \sqrt{2}

Es liegt ein Quadrat vor.

tan (α) = \frac{\frac{b^{2}}{2}}{\frac{b^{2}}{2}} = 1

{tan}^{- 1} (α) = 45

°

mfG

Atlantik

Z e i c h n u n g :

Gwunderi aktiv_icon

15:39 Uhr, 07.02.2014

Es geht mit viel weniger Aufwand:

A = s i n α \cdot b \cdot c o s α \cdot b

Das b ist nur ein Proportionalitätsfaktor, kann man gleich weglassen.

f (α) = s i n α \cdot c o s α

soll maximal werden (Ableitung von f = 0)

f ‘ (α) = (c o s α)^{2} - (s i n α)^{2} = 0

(c o s α)^{2} = (s i n α)^{2}

c o s α = s i n α

\frac{s i n α}{c o s α} = t g α = 1

α = 45 G r a d

Der Neigungswinkel ist demnach auch 45 Grad.

1144610

1144530

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