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Fehler im Beweis durch vollständige Induktion

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Tags: Beweis, Sonstig, Vollständig Induktion

 
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anonymous

anonymous

23:47 Uhr, 27.10.2015

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Hi,
ich muss den Fehler in folgendem Induktionsbeweis finden:

Behauptung: für n ≥ 1 gilt: je n natürliche Zahlen sind gleich.

Beweis:
-Induktionsanfang: Für n=1 ist die Behauptung offensichtlich wahr.
-Induktionsschritt: Die Behauptung gelte für n ∈ N (Induktionsannahme). Betrachte die Menge
(a(1)=a index 1| ich weiß nicht wie ich auf dem PC die 1 als Index anzeige ){a(1),a(2),...,a(n),a(n+1)} von n+1 natürliche Zahlen. Die natürlichen Zahlen a(1),a(2)...,a(n) bzw. a(2),a(3)...,a(n),a(n+1) sind nach Induktionsannahme gleich, d.h.

a(1)=a(2)=... =a(n) bzw. a(2)=a(3)=... =a(n+1)

Damit folgt a(1)=a(2)=... =a(n+1), also die Behauptung. ◘

--------------------

Ich denke der Fehler liegt darin, dass angenommen wird:

"Die natürlichen zahlen a(1),a(2)...,a(n) bzw. a(2),a(3)...,a(n),a(n+1) sind nach Induktionsannahme gleich [...]"

Muss man das nicht erstmal Beweise und dann darf man die Feststellung machen? Oder bin ich auf dem falschen Weg?


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Online-Nachhilfe in Mathematik
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

06:13 Uhr, 28.10.2015

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Induktionsschritt funktioniert nicht beim Übergang 1→2.
anonymous

anonymous

07:13 Uhr, 28.10.2015

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Ja... Es wäre gut wenn du das weiter erklären könntest xD. Jetzt hast du mir zwar die Lösung gesagt,aber ich weiß nicht wieso das so ist. Vielleicht ist dir Antwort auf die Frage für dich klar,aber für mich nicht :(
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

07:33 Uhr, 28.10.2015

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Die Argumentation des Induktionsschrittes funktioniert nicht beim Übergang 1→2.
Eigentlich ist das offensichtlich.
Was sagt die Argumentation: wenn wir wissen, dass alle n-Tupel (a1,...,an) aus gleichen Zahlen bestehen und wir einen n+1-Tupel (a1,...,an+1) haben, dann betrachten wir zuerst (a1,...,an) - sie sind alle gleich und dann (a2,...,an+1) - sie sind ebenfalls alle gleich, DESHALB sind auch (a1,...,an+1) alle gleich. Dieses DESHALB basiert aber darauf, dass (a1,...,an) und (a2,...,an+1) gemeinsame Elemente haben. Bei n=1 haben sie aber keine gemeinsame Elemente.
Konkretes Beispiel: betrachte den 2-Tupel (5,7). Die Argumentation sagt: nehmen zuerst (5) - da sind alle Zahlen gleich (klar, ist nur eine Zahl), nehmen dann (7) - da sind alle Zahlen ebenfalls gleich (auch klar), DESHALB sind auch in (5,7) alle Zahlen gleich, was schon Quatsch ist.