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Fixpunkte bestimmen Differentialgleichung

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Differentiation

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Grenzwerte

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Differentiation, Funktion, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Grenzwert

Isaaabellll aktiv_icon

18:50 Uhr, 16.10.2018

Hallo,

ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:

Bestimmen Sie die Fixpunkte der folgenden Differentialgleichungen:

a) x' (t) = x {(t)}^{3} - 3 x (t)

b) x' (t) = cos (x (t))

Wie muss ich an diese Aufgabe herangehen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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ledum aktiv_icon

18:57 Uhr, 16.10.2018

Hallo
wodurch sind denn Fixpunkte bestimmt?
Gruß ledum

Isaaabellll aktiv_icon

19:06 Uhr, 16.10.2018

Der Fixpunkt ist dadaurch bestimmt, dass

x (t)

konstant sein muss, das heisst
wenn

\frac{d}{d t} x (t) = F (x (t)),

dann ist ein Fixpunkt

x_{0}

der die Gleichung löst gerade der Punkt, wenn gilt

F (x_{0}) = 0

.

Wenn ich das auf die Aufgabe beziehe, muss ich ja nur, so verstehe ich das, die Gleicung 0 setzen und nach

x

umstellen, aber das erscheint mir falsch.

ledum aktiv_icon

19:24 Uhr, 16.10.2018

Hallo
nein, genau das ist richtig. Wieso erscheint es dir falsch?
wenn etwa

x = \frac{π}{2}

oder

(2 k + 1) \cdot \frac{π}{\in} b)

ist das eine Lösung? ist es ein Fixpunkt? alle anderen Lösungen ,it Anfangswerten dazwischen laufen da rein.
Hier ein Bild mit den Isoklinen und ein paar Lösungen zu

b)

Gruß ledum

Isaaabellll aktiv_icon

19:41 Uhr, 16.10.2018

ok, dann lag ich ja doch richtig mit meiner Vermutung :-)

Bei

a) 0 = x^{3} - 3 x

nach

x

auflösen erhält man

x_{1,2} = \pm \sqrt{3}

als Fixpunkte und
bei

b) 0 = cos (x)

nach

x

auflösen erhält man für

x_{k} = \frac{π}{2} + k π

Nun eine abschließende Frage: wie stelle ich die Phasengeraden der Gleichung dar?
Denn das geht ja hier nicht hervor wie diese aussehen?

ledum aktiv_icon

20:07 Uhr, 16.10.2018

Hallo
bei a fehlt eine Lösung
meinst du die Geraden x=konst für die Fixpunkte oder welche Phasengeraden? in meinem Bild sind ja sie Geraden für den Fixpunkt drin.
Was genau sollst du denn zeichnen?

Isaaabellll aktiv_icon

20:25 Uhr, 16.10.2018

entschuldige, ich meinte Isoklinien. Wie kommt man da auf die parameterabhängigen Funktionsgleichungen? Diese nähern sich ja dem Fixpunkt an.

ledum aktiv_icon

00:18 Uhr, 17.10.2018

Hallo
in meinem Bild im vorigen post sind die Isoklinen gezeichnet, in jedem Punkt ist die Richtungeingezeichnet.
die Gleichung der Isoklinen ist hier

cos (x) = C

in der anderen Gleichung x(t)^3−3x(t)=const
Nochmal: warum entnimmst du so was nicht deiner Vorlesung oder Skript oder Buch?
Gruß ledum

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