Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Fixpunktiterationsaufgabe

Fixpunktiterationsaufgabe

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Grenzwerte

Tags: Fixpunktiteration, Funktion, Grenzwert

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
VILSA1990

VILSA1990 aktiv_icon

20:50 Uhr, 01.09.2011

Antworten
Guten Abend ,
ich beschäftige mich zur Zeit mit dem Thema Fixpunktiteration und würde gerne mit euch eine Aufgabe dazu durchgehen.

Aufgabe :
Gegeben sind die Funktionen f,g:ℝ→ℝ mit f(x)=x und g(x)=cos(x) auf dem Intervall I =[-1;1].

Bestimmen Sie obiges Schnittpunktproblem nun als Fixpunktproblem x⋅=Φ(x) mit einem geeignetem Φ:I→I. Stellen Sie sicher , dass Φ eine Selbstabbildung (d.h. Φ:I→I) und kontrahierend ist, indem Sie diese Eigenschaften nachweisen. Führen Sie anschließend 3 Schritte der Fixpunktiteration xn+1=Φ(xn) mit dem Startwert x0=12 durch.

Nun ich weis, dass der Algorithmus x1=Φ(x0),xn+1=Φ(xn) geht,
also habe ich die Werte:

x1=0,8775
x2=0,6390
x3=0,8026...

Das Problem ist eigentlich der Anfang , also die Selbstabbildung versteh ich noch und bekomme ich auch hin. Aber was es mit der Kontraktion und dem Nachweis aufsich hat, dass wäre nett, wenn mir jemand erklärt wie das Funktioniert und wie man die Kontraktionskonstante herausbekommt ( weil ich die für Teil II bei der Fehlerabschätzung brauche ) .
Ich habe durch suchen im Internet herausgefunden, dass gelten muss :
|Φ(x)'|<1 am Fixpunkt z/ also Ableiten und dann für x den letzen Wert der Fixpunktiteration einsetzten, also hier 0,8026?

Mit freundlichen Grüßen,
Bernd

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

07:23 Uhr, 04.09.2011

Antworten
Hallo,

sorry, für die späte Antwort, die Sache ist recht einfach, daher dachte ich, es gäbe genügend Interesse.

Bzgl. der Kontraktion helfen dir vielleicht folgende Links:

http//institute.unileoben.ac.at/amat/lehrbetrieb/num/vl-skript/skripts05/node30.html
http//de.wikipedia.org/wiki/Kontraktion_%28Mathematik%29

Mfg Michael
Antwort
Gerd30.1

Gerd30.1 aktiv_icon

17:20 Uhr, 04.09.2011

Antworten
Es ist Φ(x)=cos(x) und |Φ'(x)|=|-sin(x)|<1 für x∈[-1,1]
x0=0
x1=cos(0)=1
x2=cos(1)=0,5403
x3=cos(0,5403)=0,8576
x4=cos(0,8576)=0,6542
x5=cos(0,6542)=0,7935
x6=cos(0,7935)=0,7091
....
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.