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Flächeninhalt als Grenzwert

Schüler

Tags: Anwendung, Herleitung, Obersumme, Untersumme

Eflihfree aktiv_icon

11:00 Uhr, 20.05.2012

Guten Morgen!
Ich habe ein Thema,Flächeninhalt als Grenzwert mit Ober-und Untersumme, nicht verstanden. Ich schreib zuerst anhand eines Bespiels auf, wie so eine Herleitung des Flächeninhalts aussehen sollte und danach dann meine Problem/Fragen zu einzelnen Schritten.
Hier wie es aussehen soll:

f (x) = x^{2},

Intervall von 0 bis

2,

Teilintervalle mit Breite

\frac{2}{n}

Obersumme: On

= \frac{2}{n} ({(\frac{2}{n})}^{2} + {(2 \cdot \frac{2}{n})}^{2} + ... + {(n \cdot \frac{2}{n})}^{2})

= \frac{2^{3}}{n^{3}} (1 + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2})

Für das in Klammer verwendet man die Summenformel, also:

= \frac{8}{n^{3}} \cdot (\frac{1}{6}) \cdot n (n + 1) (2 n + 1)

= \frac{4}{3} \cdot \frac{n + 1}{n} \cdot \frac{2 n + 1}{n}

= \frac{4}{3} (1 + \frac{1}{n}) \cdot (2 + \frac{1}{n})

Somit ist

lim

n->unendlich der Obersumme

\frac{8}{3}

Untersumme: Un=

\frac{2}{n} (0^{2} + {(\frac{2}{n})}^{2} + {(2 \cdot \frac{2}{n})}^{2} + ... + {((n - 1) \cdot \frac{2}{n})}^{2})

= \frac{2^{3}}{n^{3}} (1 + 2^{2} + 3^{2} + ... + {(n - 1)}^{2})

= \frac{8}{n^{3}} \cdot \frac{1}{6} \cdot (n - 1) \cdot n \cdot (2 n - 1)

= \frac{4}{3} \cdot (1 - \frac{1}{n}) \cdot (2 - \frac{1}{n})

Somit ist

lim

n->unendlich der Untersumme

\frac{8}{3}

Und jetzt meine Probleme:

1 .)

Un beginnt und endet auf einer anderen Stelle auf der x-Achse als On (Un beginnt bei

{(0 \cdot \frac{2}{n})}^{2}

und On bei

{(1 \cdot \frac{2}{n})}^{2}

Woher weiß ich ob man nun mit On oder mit Un ein Teilintervall vorher anfängt? Ich hab mir zu

f (x) = x^{2}

auch einen Graphen gezeichnet um es daran zu erkennen, aber mir ist es nicht ganz klar, ich habe zwar eine Ahnung, weiß aber nicht, wie ich die formulieren soll! Kann mir hierbei jemand helfen?
2.)Zur Summenformel: Die Summenformel für

(1 + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2})

ist mir bekannt. Mein Problem liegt jetzt aber beim Bilden der Summenformel zu Un. Irgendwie sollte das ja analog gehen, aber ich versteh es nicht wirklich. Bei der Musterlösung hat man einfach die Vorzeichen auch negativ gemacht. Also hier wieder konkret die Frage: Wie kommt man von

(1 + 2^{2} + 3^{2} + ... + {(n - 1)}^{2})

zu diesem Ergebnis

\frac{1}{6} \cdot (n - 1) \cdot n \cdot (2 n - 1)

? In einer Arbeit bleibt mir dafür nicht die Zeit für eine Herleitung beispielsweise mit der vollständigen Induktion, gibt es also irgendwie eine einfache Erklärung wie ich analog zur Summenformel bei der On zu der Un komme?

Für die, die schonmal durchgehalten haben, diesen Text zu lesen : Danke, aber bitte bitte, ich brauch Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Eflihfree aktiv_icon

12:05 Uhr, 20.05.2012

Bitte bitte... brauche wirklich eure Hilfe!

prodomo aktiv_icon

12:38 Uhr, 20.05.2012

Zeichne dir immer die Treppenfunktion für

U_{n}

und

O_{n}

auf. Wenn die Kurve fällt, ist die linke Grenze ja höher als die rechte, also beginnt

O_{n}

ganz links,

U_{n}

einen Schritt weiter nach rechts. Wenn die KUrve steigt (wie

y = x^{2})

dann beginnt

U_{n}

ganz links.

Um die Summenformel zu benutzen, musst du vorher alle anderen Terme aus den Summanden herausklammern. Wenn die Fläche sich von 0 bis 2 ersteckt und in

n

gleiche Streifen unterteilt ist, hat jeder die Breite

\frac{2}{n}

. Der erste reicht von 0 bis

\frac{2}{n},

der zweite von

\frac{2}{n}

bis

\frac{4}{n},

usw. Also gilt

U_{n} = \frac{2}{n} \cdot 0 + \frac{2}{n} \cdot {(\frac{2}{n})}^{2} + \frac{2}{n} \cdot {(\frac{4}{n})}^{2} + . .

. = 2/n*(2/n)^2*(1+4+9+16...).Mache dir klar, wie das Ausklammern läuft, der erste Summand ist ja 0.

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