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Flächeninhalt eines Kreises (Riemannintegral)

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Kreis, Riemann-Integral

TierraT aktiv_icon

15:48 Uhr, 15.03.2015

Berechne mit Hilfe eines Riemannintegrals den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius r>0.

Lösungsansätze habe ich leider keine brauchbaren. Vielleicht kann man eine Hälfte des Kreises als x^2 darstellen und die andere als -x^2 und dann das Integral von beiden zusammenzählen? Dann müsste man noch den Radius irgendwie berücksichtigen...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreis und Mittelsenkrechte
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
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Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade

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π

und was bringt sie mir?

pwmeyer aktiv_icon

17:04 Uhr, 15.03.2015

Hallo,

du brauchst eine Darstellung der (zum Beispiel) oberen Hälfte des Kreises durch eine Funktion

y = f (x), x \in [- r, r]

Die kannst Du aus der Kreisgleichung gewinnen.

Wenn Ihr allerdings schon mehrfache Integrale im

ℝ^{2}

besprochen habt, gibt es noch einfachere Varianten.

Gruß pwm

TierraT aktiv_icon

17:56 Uhr, 15.03.2015

Danke!

Und nein, mehrfache Integrale haben wir noch nicht gemacht.

Kann ich

f (x) = \sqrt{r ² - x ²}

nehmen?

ledum aktiv_icon

18:34 Uhr, 15.03.2015

Hallo
ja fuer einen Halbkreis.
Gruss ledum

TierraT aktiv_icon

18:59 Uhr, 15.03.2015

Also

\int_{- r}^{r} \sqrt{r^{2} - x^{2}} d x

Wie löse ich das jetzt am Besten? Mit Substitution oder gehts vielleicht noch einfacher?

pwmeyer aktiv_icon

19:17 Uhr, 15.03.2015

Hallo,

ja, Substitution ist

x = r \cdot sin (t)

Gruß pwm

abakus

19:38 Uhr, 15.03.2015

"Wie löse ich das jetzt am Besten? Mit Substitution oder gehts vielleicht noch einfacher?"

Hallo,
ich will mich in die Aufgabe nicht mehr als nötig reinhängen, aber deine Frage ist genau so ziellos wie einige gut gemeinte Ratschläge.

Ich entnehme deinem ersten Post die eindeutige Aufgabenstellung, Riemann-Integrale zu verwenden.
Also keine Ausflüchte nach dem Motto "Wie geht es am einfachsten?"

pwmeyer aktiv_icon

10:22 Uhr, 16.03.2015

Hallo,

auf mich kommt es zwar nicht an, aber verstanden habe ich den letzten Einwand nicht.

Gruß pwm

TierraT aktiv_icon

11:00 Uhr, 16.03.2015

Danke, pwmeyer, ich habe es jetzt mit Substitution versucht.

\int \sqrt{r^{2} - x^{2}} d x = r^{2} * \frac{\sqrt{c o s^{2} (a r c s i n (\frac{1}{r} * x))}}{c o s (a r c s i n (\frac{1}{r} * x))} * \frac{1}{2} * (a r c s i n (\frac{1}{r} * x) + \frac{s i n (2 a r c s i n (\frac{1}{r} * x))}{2})

Und wenn ich -r und r als Grenzen einsetze, bekomme ich dann

\frac{r^{2} * \sqrt{c o s^{2} (a r c s i n (1))} * a r c s i n (1)}{2 * c o s (a r c s i n (1))} + \frac{r^{2} * \sqrt{c o s^{2} (a r c s i n (1))} * s i n (2 a r c s i n (1))}{4 * c o s (a r c s i n (1))}

Ich hoffe, das stimmt...

Respon

11:23 Uhr, 16.03.2015

Das geht einfacher ( ich habe

z

gewählt

) :

\int \sqrt{r^{2} - x^{2}} d x =

???
Substitution:

x = r \cdot sin (z) \Rightarrow d x = r \cdot cos (z) d z

\int \sqrt{r^{2} - x^{2}} d x = \int r^{2} \cdot {cos}^{2} (z) d z

Grenzen anpassen ( Viertelkreis

) :

x = 0 \Rightarrow z = 0

x = r \Rightarrow z = \frac{π}{2}

Also

\int_{0}^{\frac{π}{2}} r^{2} \cdot {cos}^{2} (z) d z = \frac{r^{2}}{2} \cdot (z + sin (z) \cdot cos (z)) |_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{r^{2} \cdot π}{4}

TierraT aktiv_icon

11:50 Uhr, 16.03.2015

Danke!! Ich glaube, ich habe es jetzt. Und dann muss ich das Ganze noch mit 4 multiplizieren, oder? Und dann kommt

r^{2} * π

raus.

Es gibt noch eine Subfrage, und zwar:

Berechne den Flächeninhalt folgender Teilmenge der Ebene:

{(x, y) \in ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} \leq 1, y \geq x^{2}}

Dort bin ich überhaupt verwirrt, was genau soll ich da tun?

Edddi aktiv_icon

13:21 Uhr, 16.03.2015

. .

. dies ist die Schnittmenge des Einheitskreises mit der Fläche oberhalb der Parabel

y = x^{2}

Als Integral würde man schreiben:

A = \int_{- n}^{n} \sqrt{1 - x^{2}} - x^{2} d x

bzw.

\int_{- n}^{n} \sqrt{1 - x^{2}} d x - \int_{- n}^{n} x^{2} d x

oder

2 \cdot \int_{0}^{n} \sqrt{1 - x^{2}} - x^{2} d x

bzw.

2 \cdot (\int_{0}^{n} \sqrt{1 - x^{2}} d x - \int_{0}^{n} x^{2} d x)

wobei

n

die Schnittstelle der beiden Funktionen ist.

;-)

TierraT aktiv_icon

14:38 Uhr, 16.03.2015

Danke!

Also

2 * (\int_{0}^{n} \sqrt{1 - x^{2}} d x - \int_{0}^{n} x^{2} d x) = 2 * (\int_{0}^{n} (\sqrt{1 - x^{2}}) d x - \frac{x^{3}}{3})

x = s i n (u)

d x = c o s (u) d u

\int \sqrt{1 - x^{2}} d x = \int \sqrt{1 - s i n^{2} (u)} c o s (u) d u

c o s^{2} (x) = \frac{1 + c o s (2 u)}{2}

\int \sqrt{1 - s i n^{2} (u)} c o s (u) d u = \int \frac{1 + c o s (2 u)}{2} d u = \frac{1}{2} * (\int 1 d u + \int c o s (2 u) d u)

\int c o s (2 u) d u = \frac{s i n (2 u)}{2}

Einsetzen:

\int \sqrt{1 - x^{2}} d x = \frac{a r c s i n (x) + \frac{s i n (2 a r c s i n (x))}{2}}{2}

2 * (\int \sqrt{1 - x^{2}} d x - \int x^{2} d x) = \frac{a r c s i n (x) + \frac{s i n (2 a r c s i n (x))}{2}}{\frac{- 2 x^{3}}{3}}

Und dann muss ich nur noch die Grenzen einsetzen...stimmt das so?

TierraT aktiv_icon

16:45 Uhr, 16.03.2015

Ist das so richtig?

TierraT aktiv_icon

19:22 Uhr, 16.03.2015

Dann nehme ich mal an, dass das so stimmt. Dann muss ich nur noch die Grenzen einfügen.

Ich hätte noch eine Frage zu der Funktionsgleichung: reicht es, wenn ich sage, dass

x^{2} + y^{2} = r^{2}

und daher

y = \sqrt{r^{2} - x^{2}}

Respon

19:56 Uhr, 16.03.2015

\int \sqrt{1 - x^{2}} d x

=??
Verwendet man die Schreibweise weiter oben

\Rightarrow

\int \sqrt{1 - x^{2}} d x = \int {cos}^{2} (z) d z = \frac{1}{2} \cdot (z + sin (z) \cdot cos (z)) = \frac{1}{2} \cdot [{sin}^{- 1} (x) + sin ({sin}^{- 1} (x)) \cdot cos ({sin}^{- 1} (x))]

Nun läßt sich folgende Identität anwenden:

sin ({sin}^{- 1} (x)) = x

cos ({sin}^{- 1} (x)) = \sqrt{1 - x^{2}}

\Rightarrow

\int \sqrt{1 - x^{2}} d x = \frac{1}{2} \cdot ({sin}^{- 1} (x) + x \cdot \sqrt{1 - x^{2}})

\Rightarrow

\int \sqrt{1 - x^{2}} d x - \int x^{2} d x = \frac{1}{2} \cdot ({sin}^{- 1} (x) + x \cdot \sqrt{1 - x^{2}}) - \frac{x^{3}}{3}

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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