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Hallo, ich weis bei dieser Aufgabe leider gar nicht weiter. ich habe eine Folge , die ich in betrachten soll. Nun soll diese bezüglich der Maximumsnorm divergent aber bezüglich der Norm konvergent sein, und ich soll dies beweisen. Ich habe versucht, das mit der Maximumsnor so zu beweisen, dass es eben keine Cauchfolge ist mit . (das n0 soll unter x stehen).Leider weis ich jetzt nicht mehr weiter, sowohl beim ersten als auch beim zweiten nicht . Über Hilfe würde ich mich sehr freuen. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
Hierzu passend bei OnlineMathe: Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Grenzwerte im Unendlichen e-Funktion |
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Hallo, deine Aufgabenstellung scheint mir unklar wiedergegeben zu sein. Das eine ist die Konvergenz/Divergenz bzgl. der Supremumsnorm (hier sogar Max.norm), das andere doch wohl eher die punktweise Konvergenz/Divergenz ... Oder ist hier die -Norm gemeint: ? Gruß ermanus |
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hallo, ja genau, gemeint ist einmal die divergenz bezüglich der supremumsnorm für wobei M eine nichtleere Menge sei zu beweisen, und einmal die konvergenz bezüglich der L1 norm. ich entschuldige mich die frage etwas verwirrend gestellt zu haben. |
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Hallo, deine Idee zu zeigen, dass im Falle der Supremumsnorm keine Cauchy-Folge vorliegt, ist vollkommen OK. Ich gehe aber aus "rechentechnischen" Gründen lieber einen anderen Weg: Wenn die Folge einen punktweisen Limes besitzt, dann ist bei Supremums-Konvergenz (gleichmäßiger Konvergenz) auch der Limes unter der Supremnumsnorm. Also lass uns den punktweisen Limes bestimmen: Ist , dann hat man . Für gilt für , also . Wegen für alle gilt . Für gilt damit speziell für bekommen wir . Zusammengenommen haben wir nun . Soweit erstmal diese Norm. Die andere folgt später ;-) Gruß ermanus |
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So, nun wie versprochen, die -Norm. Da unsere punktweise Limesfunktion an der Stelle nicht stetig ist, ändern wir sie an dieser Stelle ab und bekommen die konstante Funktion . Nun berechnen wir Gruß ermanus |
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Hallo, vielen Dank für die schnelle Antwort. Allerdings habe ich noch eine Frage. Heißt das Ergebnis 1/2 bei der maximumsnorm dass es divergiert, weil 1/2>Epsilon ist? Und bei der L1-Norm habe ich 2arctan()/ als Ergebnis bekommen. Und dies ist dann konvergent, weil der Grenzwert eben 2arctan()/ ist, habe ich das so richtig verstanden? lg,victoria |
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Ja :-) Bei der Supremumsnorm ist die Norm der Differenz immer , egal wie ich wähle. Bei der 2-ten Norm komme ich auch auf , wenn . Gruß ermanus |
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Vielen Dank für die gute Erklärung. alleine wäre ich da nie draufgekommen. :-) lg victoria |