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Folge bezüglich Normen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, Konvergenz, maximumsnorm, Norm

 
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viktoria-contessa

viktoria-contessa aktiv_icon

00:42 Uhr, 13.04.2020

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Hallo,
ich weis bei dieser Aufgabe leider gar nicht weiter.
ich habe eine Folge fk(x)=kx2/(1+kx2),kN,x[1,1], die ich in C([-1,1)] betrachten soll. Nun soll diese bezüglich der Maximumsnorm . divergent aber bezüglich der Norm .1 konvergent sein, und ich soll dies beweisen. Ich habe versucht, das mit der Maximumsnor so zu beweisen, dass es eben keine Cauchfolge ist mit (xk2)/(1+kxk2)-(kx(n0)2)/(1+kx(n0)2.
(das n0 soll unter x stehen).Leider weis ich jetzt nicht mehr weiter, sowohl beim ersten als auch beim zweiten nicht . Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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ermanus

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08:25 Uhr, 13.04.2020

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Hallo,

deine Aufgabenstellung scheint mir unklar wiedergegeben zu sein.
Das eine ist die Konvergenz/Divergenz bzgl. der Supremumsnorm
(hier sogar Max.norm),
das andere doch wohl eher die punktweise Konvergenz/Divergenz ...
Oder ist hier die L1-Norm gemeint:
f=-11f(x)dx ?

Gruß ermanus
viktoria-contessa

viktoria-contessa aktiv_icon

13:51 Uhr, 13.04.2020

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hallo,

ja genau, gemeint ist einmal die divergenz bezüglich der supremumsnorm ||||\infty=sup|(f(t))| für t\inM, wobei M eine nichtleere Menge sei zu beweisen, und einmal die konvergenz bezüglich der L1 norm.
ich entschuldige mich die frage etwas verwirrend gestellt zu haben.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

15:07 Uhr, 13.04.2020

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Hallo,

deine Idee zu zeigen, dass im Falle der Supremumsnorm keine
Cauchy-Folge vorliegt, ist vollkommen OK.
Ich gehe aber aus "rechentechnischen" Gründen lieber einen anderen
Weg:
Wenn die Folge einen punktweisen Limes f besitzt, dann ist bei
Supremums-Konvergenz (gleichmäßiger Konvergenz) f auch der Limes
unter der Supremnumsnorm.

Also lass uns den punktweisen Limes f bestimmen:

Ist x0, dann hat man
fk(x)= kx21+kx2=11kx2+1.

Für x0 gilt kx2 für k,

also f(x):=limkfk(x)=1.

Wegen fk(0)=0 für alle k gilt f(0):=limkfk(0)=0.

Für x0 gilt damit

f(x)-fk(x)=11+kx2

speziell für xk:==1/k bekommen wir

f(xk)-fk(xk)=12.

Zusammengenommen haben wir nun

f-fk=supx[-1,1]f(x)-fk(x)f(xk)-fk(xk)=12.

Soweit erstmal diese Norm. Die andere folgt später ;-)

Gruß ermanus

Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

16:33 Uhr, 13.04.2020

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So, nun wie versprochen, die L1-Norm.
Da unsere punktweise Limesfunktion an der Stelle x=0
nicht stetig ist, ändern wir sie an dieser Stelle ab und bekommen
die konstante Funktion x1.
Nun berechnen wir
1-fkL1=-111-fk(x)dx=-1111+kx2dx=...

Gruß ermanus
viktoria-contessa

viktoria-contessa aktiv_icon

19:27 Uhr, 13.04.2020

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Hallo,

vielen Dank für die schnelle Antwort. Allerdings habe ich noch eine Frage. Heißt das Ergebnis 1/2 bei der maximumsnorm dass es divergiert, weil 1/2>Epsilon ist?
Und bei der L1-Norm habe ich 2arctan([k])/[k] als Ergebnis bekommen. Und dies ist dann konvergent, weil der Grenzwert eben 2arctan([k])/[k] ist, habe ich das so richtig verstanden?

lg,victoria
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

19:49 Uhr, 13.04.2020

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Ja :-)
Bei der Supremumsnorm ist die Norm der Differenz immer 1/2,
egal wie ich k wähle.
Bei der 2-ten Norm komme ich auch auf
2karctan(k)1kπ0, wenn k.
Gruß ermanus
Frage beantwortet
viktoria-contessa

viktoria-contessa aktiv_icon

22:59 Uhr, 14.04.2020

Antworten
Vielen Dank für die gute Erklärung. alleine wäre ich da nie draufgekommen. :-)
lg victoria