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Folge konvergiert, Wurzelfolge konvergiert

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert

birdbox

20:22 Uhr, 04.11.2016

Hallo!

Die Folge

(a_{n})_{n \geq 1}

konvergiere gegen

a

und es seien alle

a_{n} \geq 0

. Zeige, dass dann auch die Folge

(\sqrt{a_{n}})_{n \geq 1}

gegen

\sqrt{a}

konvergiert.

Ich weiß nicht so recht wie ich den Beweis führen soll. Irgendwie denke ich mir diese Aussage ist eigentlich völlig klar, denn:

lim_{n \to \infty} a_{n} = a

Also irgendein Folgenglied von

(a_{n})

konvergiert gegen

a

.

Dann wende ich auf die Gleichung

a_{n} = a

die Wurzel an, also:

\sqrt{a_{n}} = \sqrt{a}

und schon habe ich doch genau das was ich haben will, ein Folgenglied von der Folge

(\sqrt{a_{n}})

konvergiert gegen

\sqrt{a}

.

Vermutlich übersehe ich was, wie zeige ich das denn am besten?
LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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Salasah aktiv_icon

21:16 Uhr, 04.11.2016

lim_{n \to \infty} a_{n} = a

existiert ein

N,

sodass

| a_{n} - a | < \sqrt{a} \cdot ε

z . z . : lim_{n \to \infty} \sqrt{a_{n}} = \sqrt{a}

Nun gilt für alle

n \geq N :

| \sqrt{a_{n}} - \sqrt{a} | = | \sqrt{a_{n}} - \sqrt{a} | \cdot (\frac{| \sqrt{a_{n}} + \sqrt{a} |}{| \sqrt{a_{n}} + \sqrt{a} |}) = \frac{| (a_{n} - a) |}{| \sqrt{a_{n}} + \sqrt{a} |} < \frac{| (a_{n} - a) |}{\sqrt{a}} < \frac{\sqrt{a} \cdot ε}{\sqrt{a}} = ε

ermanus aktiv_icon

21:55 Uhr, 04.11.2016

Den Fall

a = 0

muss man anders behandeln.

Salasah aktiv_icon

22:02 Uhr, 04.11.2016

ach ja für a gleich null einfach wie folgt:
sei

ε > 0,

dann ist

ε^{2} > 0

und damit

| a_{n} | < ε^{2}

für alle

n \geq N

\Rightarrow \sqrt{| a_{n} |} - \sqrt{0} < ε

ermanus aktiv_icon

22:09 Uhr, 04.11.2016

Genau! Ich bitte meine Pingeligkeit zu entschuldigen ;-)
Gruß ermanus

birdbox

12:52 Uhr, 05.11.2016

Hallo, vielen Dank für eure Antworten, aber ich verstehe es noch nicht ganz, mein erstes Problem ist das Epsilon.

Warum ist

∣ a_{n} - a ∣ < \sqrt{a} \cdot ε

und nicht

∣ a_{n} - a ∣ < ε

?

Generell versteh ich das mit dem Epsilon nicht so genau, also es ist eine kleine Zahl und

∣ a_{n} - a ∣

(bzw. dasselbe mit Wurzel) ist der Abstand. Wie kann man sich das am besten vorstellen, was genau sagt mir das Epsilon?

Frage 2: Warum muss a=0 anders behandelt werden??

LG und danke schon mal für eure Erklärungen :-)

ledum aktiv_icon

16:15 Uhr, 05.11.2016

Hallo
das Epsilon ist eine beliebige Zahl und zu JEDEM musst du ein

N

finden, so dass für alle n>nN die Ungleichung gilt.
Stell es dir als Diskussion vor: du behauptest

a_{n}

konvergiert gegen

a

. dein Gegenüber

G

sagt, dann sag doch mal ein

N

so dass

| a_{n} - a | < 0,1

ist. du findest ein

N z . B

N = 100,

jetzt sagt

G

aber wie ist es mit

0.0001,

wieder findest du ein

N,

darauf

G

aber findest du auch eins für

0.0000000001

? wieder rechnest du und findest eines. Aber jetzt hast du es satt und rechnest allgemein ein

N (ε)

aus, da kann jetzt

G

einsetzen was er will und findet N.
wenn

a > 0

bekannt ist kann man natürlich auchzu

ε_{1} = \sqrt{a} \cdot ε

ein

N

finden.
Gruß ledum

ermanus aktiv_icon

16:59 Uhr, 05.11.2016

Ergänzend zu ledums lehrreicher Kommunikation mit Herrn/Frau G
zu Deiner Frage 2:
wenn

a = 0

ist, ist bereits der Anfang von Salasahs sonst gültiger
Voraussetzung nicht erfüllbar; denn da würde ja sonst stehen:

∣ a_{n} - a ∣ < \sqrt{0} \cdot ε = 0 .

Wie soll ein Betrag

< 0

sein?

birdbox

12:22 Uhr, 06.11.2016

Großartig, habe es nun verstanden, vielen Dank euch 3en!!!

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