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Folge mit Grenzwert ln(x)

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anonymous

anonymous

11:35 Uhr, 16.12.2009

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Hi ich hätte mal ne frage ich hab in einem Lehrbuch gelesen, dass der natürliche Logaritmus von x sich auch als Grenzwert der Folge xn anschreiben lässt, wollte das gerne beweisen aber ich steh an :( ein freund von mit hat gesagt mit l'Hopital gehts ganz einfach aber ich kann den (noch) nicht und würde gerne wissen ob das Beispiel auch ohne diese Regel zu lösen ist!

$\lim_{n \to 0} \frac{x^{n} - 1}{n} = \ln (x)$

hab schon versucht das irgendwie umzuschreiben aber es ist nicht wirklich zielführend :(

$\lim_{n \to 0} \frac{x^{n} - 1}{n} = \lim_{n \to 0} (e^{n \cdot \ln (x)} - 1) \cdot e^{- \ln (n)} = \lim_{n \to 0} e^{n \cdot \ln (x) - \ln (n)} - e^{- \ln (n)}$

keine Ahnung ob das Sinn macht...ich stecke hier fest :(

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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13:02 Uhr, 16.12.2009

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die schreibweise ist verwirrend darum würde ich lieber alles umschreiben :

lim_{x \to 0} \frac{a^{x} - 1}{x}

die regel sagt falls

lim_{x \to x_{o}} f (x) = a

dann dann

lim_{n \to \infty} (f (a_{n})) = a

wobei

lim_{n \to \infty} a_{n} = x_{0}

(und zwar für alle Folgen die gegen

x_{0}

streben)
betrachten wir die Folge

{log}_{a} (1 + \frac{1}{n})

dann ist

lim_{n \to \infty} {log}_{a} (1 + \frac{1}{n}) = 0 = x_{0}

und:

lim_{n \to \infty} \frac{a^{{log}_{a} (1 + \frac{1}{n})} - 1}{{log}_{a} (1 + \frac{1}{n})} = lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n} - 1}{{log}_{a} (1 + \frac{1}{n})} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{{log}_{a} (1 + \frac{1}{n})} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \cdot {log}_{a} (1 + \frac{1}{n})} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{{log}_{a} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}} =

da

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e

ist

lim_{n \to \infty} \frac{1}{{log}_{a} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}} = \frac{1}{{log}_{a} e}

und jetzt nur noch Basis wechseln :

{log}_{a} e = z \Leftrightarrow e = a^{z} \Leftrightarrow ln e = z \cdot ln a \Leftrightarrow \frac{1}{z} = ln a

folglich

\frac{1}{{log}_{a} e} = ln a

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